2016-2017北京西城156中高一下期中数学试卷（理）

北京市156中学2016—2017学年度第二学期高一数学期中测试一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知数列{}na满足12nnaa，且12a，那么5a（）．A．8B．9C．10D．11【答案】C【解析】已知数列{}na满足12nnaa，且12a，故数列{}na是以2为首项，2为公差的等差数列，所以31410aad．故选C．2．若ab，则下列不等式正确的是（）．A．11abB．33abC．22abD．||ab【答案】B【解析】∵函数3yx在R上单调递赠，∴若ab，则33ab．故选B．3．设变量x，y满足约束条件20201xyxyy≥≤≤，则目标函数2zxy的最小值为（）．A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】作出约束条件所表示的可行域如图所示，2zxy可化为122zyx，作出直线12yx，并且平移直线，由图可知，当直线经过(2,0)C时，纵截距最小，从而z的值最小，将(2,0)C代入2zxy得min2z．故选A．4．已知ABC△在正方形网格中的位置如图所示，则cosABC（）．A．310B．25C．35D．45【答案】C【解析】由图可知5AB，25BC，13AC，则由余弦定理可知222222(5)(25)(13)3cos252525ABBCACABCABAC．故选C．5．已知集合2{40}Axxx，301xBxx≤，那么集合AB等于（）．A．{10}xx≤B．{10}xxC．{03}xx≤D．{10xx≤或34}x≤【答案】B【解析】∵集合2{40}{0Axxxxx或4}x，集合30{13}1xBxxxx≤≤，∴集合{10}ABxx．故选B．6．数列{}na的通项为1(1)nann，其前n项和为nS，则10S的值为（）．A．910B．1011C．1112D．1213【答案】B【解析】∵111(1)1nannnn，∴1012910Saaaa11111111223910101111111011．故选B．7．设等比数列{}na的前n项和为nS，若2580aa，则下列式子中数值不能确定的是（）．A．53aaB．53SSC．1nnaaD．1nnSS【答案】D【解析】由2580aa得3528aqa，得2q．A项，2534aqa；B项，51553313(1)113233111(1)118931aqSqqaqSqq；C项，12nnaqa；D项，11111(1)11(1)11nnnnnnaqSqqaqSqq．与n的取值有关，所以1nnSS的数值不能确定．故选D．8．已知数列1:Aa，2a，，12(0,3)nnaaaan≤≥具有性质P；对任意i，(1)jijn≤≤≤，jiaa与jiaa两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：①数列0，2，4，6具有性质P；②若数列A具有性质P，则10a；③若数列1a，2a，3123(0)aaaa≤具有性质P，则1322aaa．其中，正确结论的个数是（）．A．3B．2C．1D．0【答案】A【解析】①项，数列0，2，4，6，jiaa与(13)jiaaij≤≤≤两数中都是该数列中的项，并且432aa是该数列中的项，故①正确；②项，若数列{}na具有性质P，取数列{}na中最大项na，则2nnnaaa与0nnaa两数中至少有一个是该数列中的一项，而2na不是该数列中的项，所以0是该数列的项，又由120naaa≤，可得10a，故②正确；③项，∵数列1a，2a，3a具有性质P，1230aaa≤，∴13aa与31aa中至少有一个是该数列中的一项，且10a．（1）若13aa是该数列中的一项，则133aaa，所以10a，易知23aa不是该数列的项，∴322aaa，∴1322aaa．（2）若31aa是该数列中的一项，则311aaa或2a或3a，①若313aaa，同（1），②若312aaa，则32aa，与23aa矛盾，③若311aaa，则312aa．综上1322aaa，故③正确．综上所述，正确结论的个数是3个．故选A．二、填空题（每小题5分，共30分）9．在ABC△中，若2a，2b，π4A，则角B__________．【答案】π6【解析】由正弦定理可得sinsinabAB，即22πsinsin4B，所以π2sin14sin22B．又ab，故π6B．10．已知24a，35b，那么2ab的取值范围是__________，ab的取值范围是__________．【答案】(7,13)；24,53【解析】∵24a，35b，∴428a，11153b．故7213ab，2453ab．11．数列{}na的通项公式为221nnan，则其前n项和nS___________．【答案】12222nnn【解析】数列{2}n是以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和为12(12)2212nn．数列{21}n是以3为首项，2为公差的等差数列，其前n项和为2(321)22nnnn．故数列na的前n项和12222nnSnn．12．已知点(1,1)在不等式||yxm所表示的平面区域内，则实数m的取值范围是__________．【答案】(0,2)【解析】已知点(1,1)在不等式||yxm所表示的平面区域内，则1|1|m，故111m，解得02m，故实数m的取值范围是(0,2)．13．已知数列{}na的前n项和为nS，且32nSnn，则56aa__________．【答案】172【解析】5664216366416172aaSS．14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是__________．【答案】乙【解析】由甲、乙、丙、丁四人说的话可知乙和丁同真同假，假设乙和丁说的是真话，则甲说的话也是真话，与题设条件两人说的是真话，另外两人说的是假话相矛盾，所以乙说的是假话．故罪犯是乙．三、解答题（共80分）15．（本小题共13分）在锐角ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，4sin5A，且ABC△的面积为2．（1）求bc的值．（2）若6bc，求a的值．【答案】【解析】（1）∵4sin5A，且ABC△的面积为2，∴12sin225ABCSbcAbc△，∴5bc．（2）∵ABC△是锐角三角形，且4sin5A，∴23cos1sin5AA．∵5bc，6bc，∴1b，5c或5b，1c．由余弦定理得22232cos12510205abcbcA，∴25a．16．（本小题满分13分）已知{}na是等差数列，{}nb是各项均为正数的等比数列，且112ab，514a，33ba．（1）求{}na，{}nb的通项公式．（2）求数列{}na中满足35nbab的所有项的和．【答案】【解析】（1）∵在等差数列{}na中，12a，514a，∴设公差为d，则511423514aad．∴数列{}na的通项公式为31nan．又∵在等比数列{}nb中，各项均为正数，12b，338ba，∴设{}nb的公比为q，则2314bqb，解得2q（舍去）或2q，∴数列{}nb的通项公式为2nnb．（2）∵38b，532b，35nbab，∴83132n，即311n，∴数列{}na中满足35nbab的项为4a，5a，6a，7a，8a，9a，10a．∴410()7(1129)714022aaS．17．（本小题满分13分）甲乙两地相距300海里，某货轮匀速行驶从甲地运输货物到乙地，运输成本包括燃料费用和其他费用．已知该货轮每小时的燃料费与其速度的平方成正比，比例系数为0.5，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y表示为航行速度x（海里/小时）的函数．（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？【答案】【解析】（1）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)xx≤，从甲地到乙地所用的时间为300x小时，则从甲地到乙地的运输成本23003000.5800yxxx，(050)x≤，故所求的函数为230030016000.5800150yxxxxx，(050)x≤．（2）由（1）知16001600150150212000yxxxx≥，当且仅当1600xx，即40x时等号成立．故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少为12000元．18．（本小题满分14分）已知函数2()(31)2(1)fxaxaxa，aR．（1）若()0fx的解集是{12}xx，求a的值．（2）当0a时，解不等式()0fx．【答案】【解析】（1）若()0fx的解集是{12}xx，则1，2是方程2(31)2(1)0axaxa的两根，由韦达定理得3112aa，解得12a．（2）2()(31)2(1)[(1)(2)0fxaxaxaaxax，(0)a．令()0fx，解得1axa或2x．①当12aa时，即当1a时，解得2x．②当12aa即01a时，解得2x或1axa．③当12aa即1a时，解得1axa或2x．综上所述，当01a时，不等式的解集为{2xx或1axa；当1a时，不等式的解集是{2}xx；当1a时，不等式的解集是1axxa或2}x．19．（本小题满分13分）如图所示，在山顶P点已测得A，B，C的俯角分别为，，，其中A，B，C为山脚两侧共线的三点，现欲沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长，至少还需要直接测量出AD，EB，BC中的哪些线段长？把你上一问指出的需要测量得线段长和已测得的角度作为已知量，写出计算隧道DE的步骤．解：步骤1：还需要直接测量得线段为__________．步骤2：计算线段．计算步骤：步骤3：计算线段计算步骤：步骤4：计算线段计算步骤：【答案】【解析】步骤1：还需要直接测量得线段为AD，BE，BC．步骤2：计算线段PB的长．计算步骤：在ABC△中BPC，πPBC，PCB，由正弦定理得sinsinBCPBBPCPCB，整理可得sinsin()BCPB．步骤3：计算线段AB的长．计算步骤：在PAB△中，PAB，πAPB，由正弦定理可得：sinsinABPBAPBPAB,整理可得sin()sinPBAB．步骤4：计算线段DE的长，DEABADEB．20．（本小题满分14分）设数列{}na的首项1(0,1)a，132nnaa，2n，3，4，．（Ⅰ）若112a，写出2a，3a，4a的值．（Ⅱ）求证：{1}na是等比数列，并求{}na的通项公式．（Ⅲ）设32nnnbaa，证明1nnbb，其中n为正整数．【答案】【解析】（1）由112a，132nnaa得，1213353224aa，2353374228aa