2016年北京理数高考试题

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A={x||x|2}，B={−1，0，1，2，3}，则A⋂B=（A）{0,1}（B）{0，1，2}（C）{−1，0，1}（D）{−1，0，1，2}（2）若x,y满足{2x−y≪0,x+y≪3,x≫0,，则2x+y的最大值为（A）0（B）3（C）4（D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“IaI=IbI”是“Ia+bI=Ia-bI”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y∈R,且xyo，则（A）1𝑥-1y0（B）sinx−siny0（C）(12)x(-12)y0（D）lnx+lny0(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）16（B）13（C）12（D）1(7)将函数𝑦=sin（2𝑥﹣π3）图像上的点P（π4，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数𝑦=sin（2𝑥）的图像上，则（A）t=12，s的最小值为π6（B）t=√32，s的最小值为π6（C）t=12，s的最小值为π3（D）t=√32，s的最小值为π3（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。（10）在(1−2x)6的展开式中，x2的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线ρcosθ−√3ρsinθ−1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=____________________.（12）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，学科&网若a1=6，a3+a5=0，则S6=______________.（13）双曲线x2a2−y2b2=1(a0,𝑏0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.（14）设函数f(x)={x3−3x，x≪a，−2x，x𝑎。①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）在ABC中，3332acbac（I）求B的大小（II）求2coscosAC的最大值（16）（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5（I）试估计C班的学生人数；（II）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，学.科网他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小，（结论不要求证明）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5,（I）求证：PD平面PAB;（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（III）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由。（18）（本小题13分）设函数f(x)=xeaxe+bx，学科.网曲线y=f(x)dhko(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，（I）求a,b的值；(II)求f(x)的单调区间。（19）（本小题14分）已知椭圆C：22221Xyab（ab0）的离心率为32，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.（I）求椭圆C的方程；(II)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANllBMl为定值。（20）（本小题13分）设数列A：1a，2a,…Na(N≥2)。学.科.网如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ka＜na，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合。（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；(II)证明：若数列A中存在na使得na1a，则G（A）；(III）证明：若数列A满足na-1na≤1（n=2,3,…,N）,则G（A）的元素个数不小于Na-1a。