2016年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷（文科）

2016年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={x∈R|1≤x≤5}，B={x∈R|x＜2}，则A∩B为（）A．{x∈R|1≤x＜2}B．{x∈R|x＜1}C．{x∈R|2＜x≤5}D．{x∈R|2≤x≤5}2．已知i是虚数单位，若1+i=z（1﹣i），则z=（）A．﹣1B．1C．﹣iD．i3．已知数列{an}为等差数列，a2+a3=1，a10+a11=9，则a5+a6=（）A．4B．5C．6D．74．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x5．一个算法的流程图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．0B．﹣1C．﹣D．﹣36．函数f（x）=Acos（ωx+φ）在区间[0，π]上的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=2cos（2x+）B．f（x）=﹣cos（x﹣）C．f（x）=﹣cos（2x﹣）D．f（x）=cos（2x﹣）7．已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的个数是（）①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥n，n⊥α，则m∥α；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．A．1B．2C．3D．48．已知命题p：若奇函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），则f（6）=0；命题q：不等式log2x﹣1＞﹣1的解集为{x|x＜2}，则下列结论错误的是（）A．p∧q真B．p∨q真C．（￢p）∧q为假D．（￢p）∧（￢q）为真9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+B．4+3πC．4+πD．4++10．若向量=（1，﹣1），|=||，•=﹣1，则向量与﹣夹角为（）A．B．C．D．11．已知圆心为C1的圆（x+2）2+y2=1，圆心为C2的圆（x﹣4）2+y2=4，过动点P向圆C1和圆C2引切线，切点分别为M，N，若|PM|=2|PN|，则△PC1C2面积最大值为（）A．3B．3C．3D．1512．设函数f′（x）是函数f（x）（x≠0）的导函数f′（x）＜，函数y=f（x）（x≠0）的零点为1和﹣2，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．函数f（x）=的定义域是．14．已知实数x，y满足，则目标函数z=的最大值为．15．设正三角形ABC的外接圆内随机取一点，则此点落在正三角形ABC内的概率为．16．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，若Sn+1=Sn，则数列{}的前2016项和为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知向量=（sin，1），=（cos，），f（x）=•．（I）求f（x）的最大值，并求此时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足f（B）=，a=2，c=3，求sinA的值．18．在甲、乙两个训练队的体能测试中，按照运动员的测试成绩优秀与不优秀统计成绩后，得到得到如下2×2列联表：优秀不优秀总计甲队80240320乙队40200240合计120440560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为运动员的测试成绩与所双在训练队有关系；（Ⅱ）采用分层抽样的方法在两个训练队成绩优秀的120名运动员中抽取名运动员组成集训队．现从这6名运动员中任取2名运动员参加比赛，求这2名运动员分别来自于甲、乙两个不同训练队的概率．附：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，各棱长均为2，D，E，F，G分别是棱AC，AA1，CC1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FG∥平面BDE；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BDE的体积．20．已知抛物线C：y=x2，直线l：y=x﹣1，设P为直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B（Ⅰ）当点P在y轴上时，求线段AB的长；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点．21．已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x）（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为⊙O的直径，∠ABD=90°，线段AD交半圆于点C，过点C作半圆切线与线段BD交于点M，与线段BA延长线交于点F．（Ⅰ）求证：M为BD的中点；（Ⅱ）已知AB=4，AC=，求AF的长．五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程ρ=﹣4cosθ，圆C的圆心到直线l的距离为．（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）已知P（1，0），若直线l于圆C交于A、B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=1（Ⅰ）求++的最小值；（Ⅱ）求证：++≥++．2016年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={x∈R|1≤x≤5}，B={x∈R|x＜2}，则A∩B为（）A．{x∈R|1≤x＜2}B．{x∈R|x＜1}C．{x∈R|2＜x≤5}D．{x∈R|2≤x≤5}【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义，进行求解即可．【解答】解：∵集合A={x∈R|1≤x≤5}，B={x∈R|x＜2}，∴A∩B={x∈R|1≤x＜2}．故选：A．2．已知i是虚数单位，若1+i=z（1﹣i），则z=（）A．﹣1B．1C．﹣iD．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由1+i=z（1﹣i），得，故选：D．3．已知数列{an}为等差数列，a2+a3=1，a10+a11=9，则a5+a6=（）A．4B．5C．6D．7【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2+a3=1，a10+a11=9，∴2a1+3d=1，2a1+19d=9，解得a1=﹣，d=．∴a5+a6=2a1+9d=﹣2×+9×=4．故选：A．4．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的b，c，运用离心率公式计算可得a=1，再由渐近线方程即可得到所求方程．【解答】解：双曲线﹣y2=1（a＞0）的b=1，c=，由题意可得e===，解方程可得a=1，即双曲线的方程为x2﹣y2=1，即有渐近线方程为y=±x．故选：B．5．一个算法的流程图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．0B．﹣1C．﹣D．﹣3【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=﹣，不满足退出循环的条件，故x=﹣1，第二次执行循环体后，y=﹣，满足退出循环的条件，故x=﹣1，故输出的y值为﹣，故选：C6．函数f（x）=Acos（ωx+φ）在区间[0，π]上的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=2cos（2x+）B．f（x）=﹣cos（x﹣）C．f（x）=﹣cos（2x﹣）D．f（x）=cos（2x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数图象知A，T，利用周期公式即可解得ω，又f（）=，解得φ，由诱导公式可得函数的解析式．【解答】解：由函数图象知A=，=﹣，解得：T==π，可得：ω=2，从而，有f（x）=cos（2x+φ），又f（）=cos（2×+φ）=，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，所以：函数的解析式：f（x）=cos（2x+2kπ﹣），k∈Z，当k=0时，可得f（x）=cos（2x﹣）=﹣cos（2x﹣）．故选：C．7．已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的个数是（）①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥n，n⊥α，则m∥α；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．A．1B．2C．3D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】作出图形，判断所有可能的情况是否成立，得出答案．【解答】解：（1）由“垂直于同一平面的两条直线平行“可知①正确；（2）对于②，当m⊂α时，显然结论不成立；（3）对于③，当m⊂α时，显然结论不成立；（4）由“垂直于同一条直线的两个平面平行“可知④正确．故选：B．8．已知命题p：若奇函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），则f（6）=0；命题q：不等式log2x﹣1＞﹣1的解集为{x|x＜2}，则下列结论错误的是（）A．p∧q真B．p∨q真C．（￢p）∧q为假D．（￢p）∧（￢q）为真【考点】复合命题的真假．【分析】先判定命题p与q的真假，再利用复合命题的真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：若奇函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），则f（6）=f（0）=0，正确；命题q：由不等式log2x﹣1＞﹣1，可得0＜2x﹣1＜，∴x﹣1＜1，解得x＜2．∴不等式的解集为{x|x＜2}，正确．∴p∧q，p∨q，（￢p）∧q为假，（￢p）∧（￢q）为假．故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+B．4+3πC．4+πD．4++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由两部分组成的，前面是一个三棱锥，后面是一个圆锥．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由两部分组成的，前面是一个三棱锥，后面是一个圆锥．∴该几何体的表面积=+π×12×+++×=+4．故选：A．10．若向量=（1，﹣1），|=||，•=﹣1，则向量与﹣夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可求得，从而，这样由便可得到，从而得出，可作△AOB，从而可以得出，而，而和的夹角容易得出，即得出与的夹角．【解答】解：根据条件，；∴=2cos∠AOB=﹣1；∴；∴，如图，作△AOB，，OA=OB，则：，；∴和夹角为；即向量与夹角为．故选：D．11．已知圆心为C1的圆（x+2）2+y2=1，圆心为C2的圆（x﹣4）2+y2=4，过动点P向圆C1和圆C2引切线，切点分别为M，N，若|PM|=2|PN|，则△PC1C2面积最大值为（）A．3B．3C．3D．15【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】设出P的坐标，由题意列式转化为二次函数的最值问题得答案．【解答】解：由题意知：C1（﹣2，0），C2（4，0），设P（x0，y0），由|PM|=2|PN|，得=，整理得：，∴，∴S=，当x0=6时，y0取得最大值为．∴Smax=．故选：C．12．设函数f′（x）是函数f（x）（x≠0）的导函数f′（x）＜，函数y=f（x）（x≠0）的零点为1和﹣2，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，求出g（x）在定义域的单调性，将不等式xf（x）＜0转化为x3g（x）＜0，再分别利用函数的单调性进行求解