2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题含答案解析

2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1．若函数()3cos()sin()63fxxx（0）的最小正周期为，则()fx在区间02，上的最大值为。【答案】23【解答】∵()3cos()sin()3cos()sin()63662fxxxxx3cos()cos()4cos()666xxx，且()fx的最小正周期为。∴2，()4cos(2)6fxx。又02x，时，72666x，∴266x，即0x时，()fx在区间02，上取最大值23。2．已知集合2320Axxx，13Bxax，若AB，则实数a的取值范围为。【答案】1()2，【解答】12Axx。由13ax，得3103axax。∴0a时，3Bxx。满足AB。0a时，由3103axax，得1(3)03xax，133Bxxxa或。满足AB。0a时，由3103axax，得1(3)03xax，133Bxxa。由满足AB，得131a，102a。综合得，12a。a的取值范围为1()2，。3．函数22()ln2fxxxx零点的个数为。【答案】1【解答】∵()2ln2(2ln3)fxxxxxxx。320xe时，()0fx；32xe时，()0fx。∴()fx在区间32(0)e，上为减函数，在区间32()e，上为增函数。又320xe时，31ln11022x，2()(ln1)20fxxx；3323()(1)202fee，2()220fee。∴函数()fx的零点个数为1。或：作图考察函数lnyx与221yx图像交点的个数。4．如图，在正方体1111ABCDABCD中，二面角1BACD的大小为。【答案】120【解答】设正方体棱长为1。作1BEAC于E，连结DE。由正方体的性质知，11ADCABC△≌△。∴1DEAC，BED为二面角1BACD的平面角，且23BEDE，2BD。∴222133cos222233BED。∴二面角1BACD的大小为120。或：设AC、BD交于点O，由60BEO，得120BED。C1B1D1CABDA1EC1B1D1CABDA1（第4题）5．在空间四边形ABCD中，已知2AB，3BC，4CD，5DA，则ACBDuuuruuur。【答案】7【解答】以ABuuur，BCuuur，CDuuur为基底向量。则ADABBCCDuuuruuuruuuruuur。∴22()ADABBCCDuuuruuuruuuruuur，即2222222ADABBCCDABBCABCDBCCDuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur。∴2549162()ABBCABCDBCCDuuuruuuruuuruuuruuuruuur，∴2ABBCABCDBCCDuuuruuuruuuruuuruuuruuur。∴()()ACBDABBCBCCDuuuruuuruuuruuuruuuruuur297ABBCABCDBCCDBCBCuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur。6．已知直线l过椭圆C：2212xy的左焦点F且交椭圆C于A、B两点。O为坐标原点，若OAOB，则点O到直线AB的距离为。【答案】63【解答】(10)F，。显然x轴不符合要求。设直线AB方程为1xty。由22112xtyxy，得22(2)210tyty…………①①的判别式大于0。设11()Axy，，22()Bxy，，则12222tyyt，12212yyt。由OAOB，得2212121212121222(1)2(1)(1)(1)()11022ttxxyytytyyytyytyyttt。∴222(1)220ttt，212t。∴点O到直线AB的距离为211631112t。BDCA7．已知zC，若关于x的方程23204xzxi（i为虚数单位）有实数根，则复数z的模z的最小值为。【答案】1【解答】设zabi（a，bR），0xx是方程23204xzxi的一个实数根。则20032()04xabixi。∴20003204210xaxbxLLLLLL①②。由②得，012xb，代入①，得211320424abb，23410bab，2314bab。∴2222222231251353()141616888bzabbbbb，当且仅当55b时等号成立。∴z的最小值为1。（255a，55b或255a，55b，即255()55zi）。8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为。（用数字作答）【答案】216【解答】∵将16分解成4个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：1612310，161249，161258，161267，161348，161357，161456，162347，162356。∴符合条件的不同分配方法有449216A种。9．()fx是定义在R的函数，若(0)1008f，且对任意xR，满足(4)()2(1)fxfxx，(12)()6(5)fxfxx，则(2016)2016f。【答案】504【解答】∵对任意xR，(4)()2(1)fxfxx，∴(12)()(12)(8)(8)(4)(4)()fxfxfxfxfxfxfxfx2(8)12(4)12(1)6306(5)xxxxx又(12)()6(5)fxfxx，∴(12)()6(5)fxfxx。∴(2016)(2016)(2004)(2004)(1992)(12)(0)(0)ffffffffL(20095)168620096199765100861008100810082L。∴(2016)100850420162f。10．当x，y，z为正数时，2224xzyzxyz的最大值为。【答案】172【解答】∵22161621717xzxz，当且仅当417xz时等号成立，221121717yzyz，当且仅当117yz时等号成立。∴22222221611612()()22(4)1716171717xyzxzyzxzyzxzyz。∴2224172xzyzxyz，当且仅当417xz，117yz，即4117xyz：：：：时等号成立。∴2224xzyzxyz的最大值为172。注：本题利用待定系数法。将2z拆成两项2z和2(1)z。由222xzxz，22(1)21yzyz，以及24121，得1617。由此得到本题的解法。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11．已知数列na的前n项和22nnSa（*nN）。（1）求na的通项公式na；（2）设11(1)nnbann，nT是数列nb的前n项和，求正整数k，使得对任意*nN均有knTT；（3）设11(1)(1)nnnnacaa，nR是数列nc的前n项和，若对任意*nN均有nR成立，求的最小值。【解答】（1）由22nnSa，得1122nnSa。两式相减，得1122nnnaaa。∴12nnaa，数列na为等比数列，公比2q。由又1122Sa，得1122aa，12a。∴2nna。………………………………5分（2）111(1)12(1)(1)2nnnnnbnnnn。由计算可知，10b，20b，30b，40b。当5n时，由11(1)(1)(2)(1)(2)0222nnnnnnnnn，得当5n时，数列(1)2nnn为递减数列。于是，5n时，5(1)5(51)122nnn。∴5n时，1(1)10(1)2nnnnbnn。因此，1234TTTT，456TTTL。∴对任意*nN均有4nTT。故4k。………………………………10分（3）∵111112112()(1)(1)(12)(12)2121nnnnnnnnnacaa………15分∴11111111111222()()()2()35592121321321nnnnnRL。∵对任意*nN均有nR成立，∴23。的最小值为23。……………………20分12．已知2()ln()fxaxbx（0a）。（1）若曲线()yfx在点(1(1))f，处的切线方程为yx，求a，b的值；（2）若2()fxxx恒成立，求ab的最大值。【解答】（1）()2afxxaxb。依题意，有(1)21(1)ln()11afabfab。解得，1a，2b。∴1a，2b。……………………………………5分（2）设2()()()gxfxxx，则()ln()gxaxbx，()0gx。①0a时，()gx定义域()ba，，取0x使得0ln()1baxba，得10baebbxaa。则0000()ln()ln()()(1)10bbbgxaxbxaxbaaa与()0gx矛盾。∴0a时，()0gx不恒成立，即0a不符合要求。………………10分②0a时，()()1abaxaagxaxbaxb（0axb）。当babxaa时，()0gx；当abxa时，()0gx。∴()gx在区间()babaa，上为增函数，在区间()aba，上为减函数。∴()gx在其定义域()ba，上有最大值，最大值为()abga。由()0gx，得()ln0ababgaaa。∴lnbaaa。…………………………………15分∴22lnabaaa。设22()lnhaaaa，则()2(2ln)(12ln)haaaaaaa。∴0ae时，()0ha；ae时，()0ha。∴()ha在区间(0)e，上为增函数，在区间()e，上为减函数。∴()ha的最大值为()22eehee。∴当ae，2eb时，ab取最大值为2e。综合①，②得，ab的最大值为2e。…………………………………20分13．如图，O⊙为ABC△的外接圆，DA是O⊙的切线，且DBAABC，E是直线DB与O⊙的另一交点。点F在O⊙上，且BFEC∥，G是CF的延长线与切线DA的交点。求证：AGAD。【解答】在ABC△和ABD△中，由DA是