2017年“庆元旦”九年级数学竞赛试卷含答案

蔡襄中学2017年“庆元旦”九年级数学竞赛试卷(本试卷共三道大题，满分120分)班级：_____________姓名：________________分数：一、选择（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1、篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分）（）2、已知两圆的半径R、r分别为方程0652xx的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切3、已知：4x=9y=6，则y1x1等于()A、2B、1C、21D、234、抛物线cbxxy2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322xxy，则b、c的值为（）A.b=2，c=0B.b=2，c=2C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=25、若不等式组mxxmx1104的解集是4x，则（）A、29mB、5mC、29mD、5m6、已知0221baba，则ba的值为（）A、-1B、1C、2D、不能确定7、任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解：qpn（qp）可称为正整数n的最佳分解，并规定qpnF)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(F，则在以下结论:①21)2(F②83)24(F③若n是一个完全平方数，则1)(nF④若n是一个完全立方数，即3an（a是正整数），则anF1)(。中，正确的结论有：（）A、4个B、3个C、2个D、1个8、如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于（）A、134B、38C、12D、310如图二、填空（本题共8个小题，每小题5分，共40分）9、若“!”是一种数学运算符号，并且：1!=1，2!=2×1=2，3!＝3×2×1=6，4!=4×3×2×1，…，则100!98!＝。10、设-1≤x≤2，则2212xxx的最大值与最小值之差为11、给机器人下一个指令[s，A]（0s，1800A），它将完成下列动作：①先在原地向左旋转角度A；②再朝它面对的方向沿直线行走s个单位长度的距离。现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x轴的正方向，取它的左侧为y轴的正方向，要想让机器人移动到点（5，5）处，应下指令：。12、设ab，是方程220090xx的两个实数根，则22aab的值是13、已知抛物线y=3(x－2)（x+4）则抛物线的对称轴是__________________14、汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元。若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图4中的1l、2l所示，则1l与2l的交点的横坐标m(不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用)。图（4）15、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为__________.16、设32213031x2(axaxaxa）,这是关于x的一个恒等式(即对于任意x都成立)。则31aa的值是.三、解答（40分）17、（12分=5分+7分）如图，矩形纸片ABCD中，8AB，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，10BG．（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图（5），求EFG△的面积；题号12345678答案题号910111213141516答案图1（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图（6），证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长。18、（12分=5分+7分）如图7，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(5，0)两点，与y轴交于点B(0，5)．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积．（图7）19、（16分=5分+5分+6分）抛物线22(21)yxbxb（b为常数）与x轴相交于1(0)Ax，，2(0)Bx，（210xx）两点，设OA·OB=3（O为坐标系原点）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C，抛物线的对称轴交x轴于点D，求证：点D是ABC△的外心；（3）在抛物线上是否存在点p，使1ABPS△？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．ABFE(B)DCG图（5）图（6）GCDFABE(B)H(A)yxＯ参考答案一、选择题1、D2、D3、A4、AD5、C6、C7、C8、A二、填空题9、9900；10、1；11、[52，135°]；12、2008；13、x=-1；14、22500；15、1cm或7cm；16、13三、17、（1）25；（2）5418、解：（1）抛物线的解析式为：y=-x2+4x+5（2）过D作DF⊥AE，垂足为点FS四边形AEDB=S△AOB+S梯形OBDF+S△DEF=30．19、（1）解：由题意，得x1•x2=2b-1．（1分）∵OA•OB=3，OA=x1OB=x2，∴x1•x2=3．（2分）∴2b-1=3．∴b=2．（3分）∴所求的抛物线解析式是：y=-x2+4x-3．（4分）（2）证明：如图，∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，∴顶点C（2，1），D（2，0），CD=1．（5分）令y=0，得-x2+4x-3=0．解得x1=1，x2=3．（6分）∴A（1，0），B（3，0），AD=DB=1．（7分）∴AD=DC=DB．∴D为△ABC的外心．（8分）（3）解法一：设抛物线存在点P（x，y），使S△ABP=1．由（2）可求得AB=3-1=2．∴S△ABP=21AB•|y|=21×2×|y|=1．（9分）∴y=±1．当y=1时，-x2+4x-3=1，解得x1=x2=2．（10分）当y=-1时，-x2+4x-3=-1x=2±2．（11分）∴存在点P，使S△ABP=1．点P的坐标是（2，1）或（2+2，-1）或（2-2，-1）．（12分）解法二：由（2）得S△ABC=21AB•CD=21×2×1=1．（9分）∴顶点C（2，1）是符合题意的一个点．（10分）另一方面，直线y=-1上任一点M，能使S△AMB=1，把直线y=-1代入抛物线解析式，得-x2+4x-3=-1．解得x=2±2．（11分）∴存在点P，使S△ABP=1．点P的坐标是（2，1）或（2+2，-1）或（2-2，-1）．（12分）