2018届高考数学（上海专用）总复习专题04三角函数与解三角形分项练习

第四章三角函数与解三角形一．基础题组1.【2016高考上海理数】方程3sin1cos2xx在区间0,2π上的解为___________.【答案】566，【考点】二倍角公式及三角函数求值【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.2.【2016高考上海理数】已知ABC△的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】733【解析】试题分析：由已知可设3,5,7abc，∴2221cos22abcCab，∴3sin2C，∴732sin3cRC【考点】正弦、余弦定理【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答此类试题时，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.3.【2016高考上海理数】设,,0,2πabcR.若对任意实数都有π2sin3sin3xabxc，则满足条件的有序实数组cba,,的组数为.【答案】4【解析】试题分析：当2a时，ππ5πsin(3)sin(32π)sin(3)333xxx，5π(,)(3,)3bc，又ππ4πsin(3)sin[π(3)]sin(3)333xxx，4π(,)(3,)3bc，注意到[0,2π)c，所以只有2组：5π(23,)3，,4π(23,)3，满足题意；当2a时，同理可得出满足题意的cba,,也有2组：π(23,)3，,2π(23,)3，，故共有4组.【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,bc的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.4.【2016高考上海文数】若函数()4sincosfxxax的最大值为5，则常数a______.【答案】3【考点】三角函数sin()yAx的图象和性质.【名师点睛】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到sin()yAx，结合角的范围求解..本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.5.【2016高考上海文数】设aÎR，[0,2π]bÎ.若对任意实数x都有πsin(3)=sin()3xaxb-+，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）.(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】B【解析】试题分析：ππ5πsin(3)sin(32π)sin(3)333xxx，5π(,)(3,)3ab，又ππ4πsin(3)sin[π(3)]sin(3)333xxx，4π(,)(3,)3ab，注意到[0,2π)b，只有这两组．故选B．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,ab的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.6.【2015高考上海理数】已知函数sinfxx．若存在1x，2x，，mx满足1206mxxx，且1223112nnfxfxfxfxfxfx（2m，m），则m的最小值为．【答案】【解析】因为sinfxx，所以maxmin()()2mnfxfxfxfx，因此要使得满足条件1223112nnfxfxfxfxfxfx的m最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222xxxxxxxx即8.m【考点定位】三角函数性质【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.7.【2015高考上海文数】已知点A的坐标为)1,34(，将OA绕坐标原点O逆时针旋转3至OB，则点B的纵坐标为（）.A.233B.235C.211D.213【答案】D【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.【名师点睛】设直线OA的倾斜角为，)0,0)(,(nmnmB，则tanOAk，)3tan(OBk，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于m、的等式求解结论.数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.8.【2014上海，理1】函数212cos(2)yx的最小正周期是.【答案】2【解析】由题意cos4yx，242T【考点】三角函数的周期.9.【2014上海,文7】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arccos3.【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意23rlr，即3lr，母线与底面夹角为，则1cos3rl为，1arccos3.【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.10.【2014上海,文12】方程sin3cos1xx在区间[0,2]上的所有解的和等于.【答案】73【考点】解三角方程.11.【2013上海,理4】已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，则角C的大小是______(结果用反三角函数值表示)．【答案】π－arccos13【解析】3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0c2＝a2＋b2＋23ab，故cosC＝13，C＝1arccos3.12.【2013上海,理11】若cosxcosy＋sinxsiny＝12，sin2x＋sin2y＝23，则sin(x＋y)＝______.【答案】23【解析】cos(x－y)＝12，sin2x＋sin2y＝2sin(x＋y)cos(x－y)＝23，故sin(x＋y)＝23.13.【2013上海,文5】已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2＋ab＋b2－c2＝0，则角C的大小是______．【答案】23【解析】a2＋ab＋b2－c2＝0cosC＝22212223abcCab.14.【2013上海,文9】若cosxcosy＋sinxsiny＝13，则cos(2x－2y)＝______.【答案】79【解析】cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝13cos2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝79.15.【2012上海,理16】在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】由正弦定理可知a2＋b2＜c2，从而222cos02abcCab，∴C为钝角，故该三角形为钝角三角形．16.【2012上海,文4】若d＝(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示)．【答案】1arctan2【解析】设直线l的倾斜角为α，则1tan2，所以1arctan2.17.【2011上海,理6】在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为______千米．【答案】6【解析】18.【2011上海,理7】若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为______．【答案】3π3【解析】19.【2011上海,文4】函数y＝2sinx－cosx的最大值为________．【答案】5【解析】20.【2010上海,理18】某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能答]（）（A）不能作出这样的三角形.（B）作出一个锐角三角形.（C）作出一个直角三角形.(D)作出一个钝角三角形.【答案】D【点评】本题考查余弦定理在解斜三角形中的应用，即判断三角形的形状，由于条件中是三角形三条高的长度，则需转化为三边长度，从而考查运动变化观、数形结合思想.21.【2010上海,文18】若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】设三角形的三边长分别为a，b，c，由正弦定理知，a∶b∶c＝5∶11∶13，设a＝5t，b＝11t，c＝13t.∵a2＋b2＝(5t)2＋(11t)2＝146t2，而c2＝(13t)2＝169t2，∴a2＋b2＜c2，∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形．22.(2009上海,理6)函数y=2cos2x+sin2x的最小值是____________.【答案】21【解析】因y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1)42sin(2x,所以y的最小值为21.23.(2009上海,文13)已知函数)(xf=sinx+tanx,项数为27的等差数列{an}满足an∈(2,2),且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k=__________时,f(ak)=0.【答案】14【解析】函数)(xf=sinx+tanx,x∈(2,2)是奇函数,且在给定的定义域上单调递增.在等差数列{an}中,若满足a1+a27=0(d≠0),则f(a1)+f(a27)=0.由等差数列的性质易得f(a1)+f(a27)=f(a2)+f(a26)=…=f(a13)+f(a15)=0,所以f(a14)=0,此时k=14.24.【2008上海,理6】函数f(x)＝3sinx+sin(2+x)的最大值是.25.【2008上海,理10】某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是.26.【2007上海,理6】函数sinsin32fxxx的最小正周期是_____T27.【2007上海,理11】已知圆的方程2211xy，P为圆上任意一点（不包括原点）.直线OP的倾斜角为弧度，OPd，则df的图象大致为_____28.【2007上海,理17】在三角形ABC中，252,,cos425BaC，求三角形ABC的面积S。29.【2007上海,文4】函数πseccos2yxx的最小正周期T.【答案】【解析】30.【2006上海,理6】如果cos＝51，且是第四象限的角，那么)2cos(＝．【答案】265【解析】如果cos＝51，且是第四象限的角，∴26sin5，那么)2cos(＝sin=265．31.【2006上海,理8】在极坐标系中，O是极点，设点A（4，3），B（5，－65），则△OAB的面积是．【答案】5【解析】在极坐标系中，O是极点，设点A（4，3），B（5，－65），∠AOB=2π－76=56，所以△OAB的面积是1545sin526S．32.【2006上海,理17】（本题满分12分）求函数y＝2)4cos()4cos(xx＋x2sin3的值域和最小正周期．【答案】－2,2],π33.【2006上海,文6】函数sincosyxx的最小正周期是_________.【答案】π【解析】函数sincosyxx=21sin2x，它