2018届高考数学（上海专用）总复习专题09圆锥曲线分项练习

第九章圆锥曲线一．基础题组1.【2017高考上海，6】设双曲线22109xybb的焦点为12,FF，P为该双曲线上的一点.若15PF,则2PF.【答案】11.2.【2014上海,理3】若抛物线y2=2px的焦点与椭圆15922yx的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.【答案】2x.【解析】椭圆22195xy的右焦点为(2,0)，因此22p，4p，准线方程为2x.【考点】椭圆与抛物线的几何性质.3.【2013上海,理9】设AB是椭圆Γ的长轴，在C在Γ上，且∠CBA＝4.若AB＝4，BC＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为______．【答案】463【解析】(如图)不妨设椭圆Γ的标准方程为2224xyb＝1，于是可算得C(1,1)，得b2＝43，2c＝463.4.【2013上海,文18】记椭圆22441xnyn＝1围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1，2，…)，当点(x，y)分别在Ω1，Ω2，…上时，x＋y的最大值分别是M1，M2，…，则limnnM＝()A．0B．14`C．2D．22【答案】D5.【2011上海,理3】设m是常数，若点F(0,5)是双曲线22=19yxm的一个焦点，则m＝______.【答案】16【解析】6.【2010上海,理3】若动点P到点F（2，0）的距离与它到直线02x的距离相等，则点P的轨迹方程为_____________；【答案】xy82【解析】由抛物线定义知：P的轨迹为抛物线，易知焦参数4p，所以点P的轨迹方程为xy82.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题7.【2010上海,理13】如图所示，直线2x与双曲线：1422yx的渐近线交于1E，2E两点，记11OEe，22OEe.任取双曲线上的点P，若12OPaebe（a、bR），则a、b满足的一个等式是；【答案】41ab【解析】设00(,)Pxy，易知1(2,1)e，2(2,1)e，由12OPaebe，得00(,)(2,1)(2,1)xyab，即00(,)(22,)xyabab，∴022xab，0yab，代入1422yx整理得41ab，故答案为：41ab.【点评】本题考查双曲线的几何性质，向量的坐标运算，平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势.8.【2010上海,文13】在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5，0)，e1＝(2,1)、e2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若OP＝ae1＋be2(a、b∈R)，则a、b满足的一个等式是________．【答案】4ab＝1【解析】由题意知，双曲线两条渐近线的斜率分别为±12，可得双曲线方程为24x－y2＝λ，即：24x－2y＝1.又∵双曲线的一个焦点坐标为(5，0)，∴4λ＋λ＝5，解得λ＝1.∴双曲线的方程为24x－y2＝1.而OP＝ae1＋be2＝(2a，a)＋(2b，－b)＝(2a＋2b，a－b)，又∵P在双曲线上，∴2(22)4ab－(a－b)2＝1.整理得4ab＝1.9.(2009上海,理9)已知F1、F2是椭圆C:12222byax(a＞b＞0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且21PFPF.若△PF1F2的面积为9,则b=______________.【答案】3【解析】∵21PFPF,∴∠F1PF2=90°,∴△F1PF2为直角三角形.∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2.又∵|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,即(2c)2=(2a)2-4×21|PF1|·|PF2|,9||||212121PFPFSFPF.∴4c2=4a2-4×9=0,∴4b2=4×9.∴b=3.10.(2009上海,理14)将函数2642xxy(x∈［0,6］)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α),得到曲线C.若对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图像,则α的最大值为_____________.【答案】32arctan11.(2009上海,文9)过点A(1,0)作倾斜角为4的直线,与抛物线y2=2x交于M、N两点,则|MN|=___________.【答案】62【解析】斜率14tank,所以过点A(1,0)的直线方程为y=x-1.将其代入抛物线y2=2x,得x2-4x+1=0.因为判别式Δ=16-4＞0,所以可设其两根为x1,x2,于是x1+x2=4,x1x2=1.故6241624)(1||212212xxxxkMN12.【2008上海,文6】若直线10axy经过抛物线24yx的焦点，则实数a___．【答案】-1【解析】直线10axy经过抛物线24yx的焦点(1,0),F则101.aa13.【2008上海,文12】设p是椭圆2212516xy上的点．若12FF，是椭圆的两个焦点，则12PFPF等于（）A．4B．5C．8D．10【答案】D【解析】由椭圆的第一定义知12210.PFPFa14.【2007上海,理8】已知双曲线22145xy，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____15.【2006上海,理7】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．【答案】141622yx【解析】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，即2ab，∴22312cb，∴224,16ba，该椭圆的标准方程是141622yx．16.【2006上海,文7】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.【答案】221916xy【解析】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4cb，解得5,4cb，则双曲线的标准方程是221916xy.17.【2005上海,理5】若双曲线的渐近线方程为xy3，它的一个焦点是0,10，则双曲线的方程是__________.【答案】1922yx【解析】由双曲线的渐近线方程为xy3，知3ab，它的一个焦点是0,10，知1022ba，因此3,1ba双曲线的方程是1922yx18.【2005上海,理15】过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在【答案】B19.【2005上海,文7】若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是0,152，则椭圆的标准方程是__________.【答案】2218020xy【解析】由题意可知，2ab，215c，又222abc，解得2280,20ab，所求椭圆的标准方程为2218020xy.【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a、b、c、p、e的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题.二．能力题组20.【2016高考上海理数】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线C的方程;（2）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为38.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值.【答案】（1）24yx（02y）；（2）矩形面积为52，五边形面积为114，五边形面积更接近于1S面积的“经验值”．【解析】试题解析：（1）因为C上的点到直线ΕΗ与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以ΕΗ为准线的抛物线在正方形ΕFGΗ内的部分，其方程为24yx（02y）．（2）依题意，点Μ的坐标为1,14．所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值”．【考点】抛物线的定义及其标准方程、面积计算【名师点睛】本题主要考查抛物线的实际应用，“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，即研究几何图形的面积，解题关键在于能读懂题意.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力、数学的应用意识等.21．【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)yxbb的左、右焦点分别为12FF、，直线l过2F且与双曲线交于AB、两点.（1）若l的倾斜角为π2，1FAB△是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b，若l的斜率存在，且11()0FAFBAB，求l的斜率.【答案】（1）2yx；（2）155.【解析】110FΑFΒΑΒ即10FΜΑΒ，从而得到11FΜkk，进而构建关于k的方程求解即可．试题解析：（1）设,ΑΑΑxy．由题意，2,0Fc，21cb，22241Αybcb，因为1FΑΒ△是等边三角形，所以23Αcy，即24413bb，解得22b．故双曲线的渐近线方程为2yx．（2）由已知，12,0F，22,0F．设11,Αxy，22,Βxy，直线:l2ykx．显然0k．由22132yxykx，得222234430kxkxk．因为l与双曲线交于两点，所以230k，且23610k．设ΑΒ的中点为,ΜΜΜxy．由11()0FAFBAB即10FΜΑΒ，知1FΜΑΒ，故11FΜkk．而2122223Μxxkxk，2623ΜΜkykxk，12323FΜkkk，所以23123kkk，得235k，故l的斜率为155．【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,abce的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.22.【2016高考上海文数】已知双曲线1C、2C的顶点重合，1C的方程为1422yx，若2C的一条渐近线的斜率是1C的一条渐近线的斜率的2倍，则2C的方程为.【答案】14422yx【解析】因为1C的方程为1422yx，所以1C的一条渐近线的斜率211k，所以2C的一条渐近线的斜率12k，因为双曲线1C、2C的顶点重合，即焦点都在x轴上，设2C的方程为)0,0(12222babyax，所以2ba，所以2C的方程为14422yx.【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2