2018届高考数学（上海专用）总复习专题13推理与证明新定义分项练习

第十三章推理与证明、新定义一．基础题组1.【2011上海,理14】已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足(|OQ1|－2)(|OR1|－2)＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足(|OQ2|－2)(|OR2|－2)＜0，依次下去，得到P1，P2，…，Pn，…，则0limnnQP______.【答案】3【解析】2.(2009上海,理13)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)___________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【答案】（3，3）【解析】设确定的格点为（x,y)，由题意知确定的格点到已知的6个格点路程的和最短，即为x,y分别到6个格点的横.纵坐标距离和最小，6个格点的横坐标由小到大排列为-2,-2,3,3,4,6，所以x=3时到这6个数的距离和最小.同理y=3时，y到6个格点纵坐标距离之和最小.故所求的格点为(3,3).3.【2008上海,文15】如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点()Pxy，、点()Pxy，满足xx且yy，则称P优于P．如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）Ａ．ABB．BCC．CDD．DA【答案】D4.【2007上海,理9】若,ab为非零实数，则下列四个命题都成立：①10aa②2222abaabb③若ab，则ab④若2aab，则ab。则对于任意非零复数,ab，上述命题仍然成立的序号是_____。5.【2006上海,理10】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．【答案】36【解析】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况讨论：①对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24个；②对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个；所以正方体中“正交线面对”共有36个．6.【2006上海,文12】如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O，对于平面上任意一点M,若,pq分别是M到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对,pq是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是____________.【答案】47.【2005上海,文16】用n个不同的实数naaa,,,21可得到!n个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n行的数阵.对第i行iniiaaa,,,21，记inniiiinaaaab)1(32321，!,,3,2,1ni.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621bbb，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021bbb等于（）A．—3600B．1800C．—1080D．—720【答案】－1080【解析】在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021bbb二．能力题组8.【2010上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分.若实数x、y、m满足mymx，则称x比y远离m.（1）若21x比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：33ab比22abab远离2abab；（3）已知函数()fx的定义域|,,24kDxxkZxR.任取xD，()fx等于xsin和xcos中远离0的那个值.写出函数()fx的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.【答案】（1）（2）（3）(3)3sin,(,)44()cos,(,)44xxkkfxxxkk，性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期2T，3函数f(x)在区间(,]242kk单调递增，在区间[,)224kk单调递减，kZ，4函数f(x)的值域为2(,1]2．【点评】本题给人耳目一新的感觉，问题的表述比较陌生，提问方式新颖，考生需要较强的数学理解和化归能力，对考生的综合数学能力要求较高．但认真分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉——函数与不等式的综合.9.【2006上海,理16】如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个；③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是（）（A）0；（B）1；（C）2；（D）3．【答案】D②若pq＝0，且p＋q≠0，则p与q中有一个为0，另一个不为0，“距离坐标”为（p，q）的点可以在直线l1或直线l2上，例如（p，q）=(0，1)，则点M在直线l2上，且到O点距离为1，这样的点有2个，命题②正确；③若pq≠0，则p≠0，q≠0，“距离坐标”为（p，q）的点在两条直线相交而成的四个区域内，这样的点有且仅有4个．正确上述命题中，正确命题的个数是3个，选D.10.【2005上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P，22(2,2)P，33(3,2)P，…，(,2)nnPn，其中n是正整数．对平面上任一点0A，记1A为0A关于点1P的对称点，2A为1A关于点2P的对称点，……，nA为1nA关于点nP的对称点．（1）求向量02AA的坐标；（2）当点0A在曲线C上移动时，点2A的轨迹是函数()yfx的图象，其中()fx是以3为周期的周期函数，且当0,3x时，()lgfxx，求以曲线C为图象的函数在1,4的解析式；（3）对任意偶数n，用n表示向量0nAA的坐标【答案】（1）（2，4）；（2）()lg(1)4gxx；（3）4(21)(,)3nn因此，基线C是函数)(xgy的图象，其中)(xg是以3为周期的周期函数，且当.4)1lg()(,]4,1(,,4)2lg()(,]1,2(xxgxxxgx时当于是时设42),,(),,(222220yyxxyxAyxA于是若).3lg()3()(,330,6322222xxfxfxx于是则当),1lg(4.63,412xyxx则时当(1,4]x时，()lg(1)4gxx。（3）nnnAAAAAAAA242200由于)(2,2143210212222nnnkkkkPPPPPPAAPPAA得，312(21)4(21)2((1,2)(1,2)(1,2))2(,)(,)233nnnnn.三．拔高题组11.【2015高考上海理数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为R的函数gx，若存在正常数，使得cosgx是以为周期的函数，则称gx为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知fx是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设fx单调递增，00f，4f.（1）验证sin3xhxx是以6为周期的余弦周期函数；（2）设ba．证明对任意,cfafb，存在0,xab，使得0fxc；（3）证明：“0u为方程cos1fx在0,上得解”的充要条件是“0u为方程cos1fx在,2上有解”，并证明对任意0,x都有fxfxf.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（2）由于fx的值域为R，所以对任意,cfafb，c都是一个函数值，即有0Rx，使得0fxc.若0xa，则由fx单调递增得到0cfxfa，与,cfafb矛盾，所以0xa.同理可证0xb.故存在0,xab使得0fxc.（3）若0u为cos1fx在0,上的解，则0cos1fu，且0,2u，00coscos1fufu，即0u为方程cos1fx在,2上的解.同理，若0u为方程cos1fx在,2上的解，则0u为该方程在0,上的解.以下证明最后一部分结论.由（2）所证知存在012340xxxxx，使得ifxi，0i，1，2，3，4.而1,iixx是函数cosfx的单调区间，0i，1，2，3.与之前类似地可以证明：0u是cos1fx在0,上的解当且仅当0u是cos1fx在,2上的解.从而cos1fx在0,与,2上的解的个数相同.故4iifxfx，0i，1，2，3，4.对于10,xx，0,fx，4,5fx，而coscosfxfx，故4fxfxfxf.类似地，当1,iixxx，1i，2，3时，有fxfxf.结论成立.【考点定位】新定义问题【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.12.【2014上海,理22】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy中，对于直线l：0axbyc和点),,(),,(22211yxPyxPi记1122)().axbycaxbyc（若0，则称点21,PP被直线l分隔.若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点21PP，被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.⑴求证：点），（），（012,1BA被直线01yx分隔；⑵若直线kxy是曲线1422yx的分隔线，求实数k的取值范围；⑶动点M到点）（2,0Q的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）11(,][,)22k；（3）证明见解析.【解析】二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线ykx的两侧．则可得到所求范围；（3）首先求出轨迹E的方程22(2)1xyx，化简为22