2018年江苏数学高考试题（含答案）

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。学@科网参考公式：锥体的体积13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{0,1,2,8}A，{1,1,6,8}B，那么AB▲．2．若复数z满足i12iz，其中i是虚数单位，则z的实部为▲．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．5．函数2()log1fxx的定义域为▲．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为▲．7．已知函数sin(2)()22yx的图象关于直线3x对称，则的值是▲．8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点(,0)Fc到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是▲．9．函数()fx满足(4)()()fxfxxR，且在区间(2,2]上，cos,02,2()1||,20,2xxfxxx-则((15))ff的值为▲．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．11．若函数32()21()fxxaxaR在(0,)内有且只有一个零点，则()fx在[1,1]上的最大值与最小值的和为▲．12．在平面直角坐标系xOy中，A为直线:2lyx上在第一象限内的点，(5,0)B，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0ABCD，则点A的横坐标为▲．13．在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，120ABC，ABC的平分线交AC于点D，且1BD，则4ac的最小值为▲．14．已知集合*{|21,}AxxnnN，*{|2,}nBxxnN．将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}na．记nS为数列{}na的前n项和，则使得112nnSa成立的n的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCDABCD中，1111,AAABABBC．求证：（1）11ABABC平面∥；（2）111ABBAABC平面平面．16．（本小题满分14分）已知,为锐角，4tan3，5cos()5．（1）求cos2的值；（2）求tan()的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△，要求,AB均在线段MN上，,CD均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sin的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)FF，圆O的直径为12FF．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于,AB两点．若OAB△的面积为267，求直线l的方程．19．（本小题满分16分）记(),()fxgx分别为函数(),()fxgx的导函数．若存在0xR，满足00()()fxgx且00()()fxgx，则称0x为函数()fx与()gx的一个“S点”．（1）证明：函数()fxx与2()22gxxx不存在“S点”；（2）若函数2()1fxax与()lngxx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数2()fxxa，e()xbgxx．对任意0a，判断是否存在0b，使函数()fx与()gx在区间(0,)内存在“S点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}na是首项为1a，公差为d的等差数列，{}nb是首项为1b，公比为q的等比数列．（1）设110,1,2abq，若1||nnabb对1,2,3,4n均成立，求d的取值范围；（2）若*110,,(1,2]mabmqN，证明：存在dR，使得1||nnabb对2,3,,1nm均成立，并求d的取值范围（用1,,bmq表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1，8}2．23．904．85．[2，+∞）6．3107．π68．29．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan3，sintancos，所以4sincos3．因为22sincos1，所以29cos25，因此，27cos22cos125．（2）因为,为锐角，所以(0,π)．又因为5cos()5，所以225sin()1cos()5，因此tan()2．因为4tan3，所以22tan24tan21tan7，因此，tan2tan()2tan()tan[2()]1+tan2tan()11．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f′．令()=0f′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()0f′，所以f（θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()0f′，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f（θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．解：（1）因为椭圆C的焦点为12()3,0,(3,0)FF，可设椭圆C的方程为22221(0)xyabab．又点1(3,)2在椭圆C上，所以2222311,43,abab，解得224,1,ab因此，椭圆C的方程为2214xy．因为圆O的直径为12FF，所以其方程为223xy．（2）①设直线l与圆O相切于0000(),,(00)Pxyxy，则22003xy，所以直线l的方程为0000()xyxxyy，即0003xyxyy．由220001,43,xyxyxyy，消去y，得222200004243640()xyxxxy．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以222222000000()()( 24)(44364820)4xxyyyx．因为00,0xy，所以002,1xy．因此，点P的坐标为(2,1)．②因为三角形OAB的面积为267，所以21 267ABOP，从而427AB．设1122,,()(),AxyBxy，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)xyxxxy，所以2222121()()xByyxA222000222200048(2)(1)(4)xyxyxy．因为22003xy，所以22022016(2)32(1)49xABx，即42002451000xx，解得22005(202xx舍去），则2012y，因此P的坐标为102(,)22．综上，直线l的方程为532yx．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得222122xxxx，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数21fxax（），()lngxx，则12fxaxgxx（），（）．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得200001ln12axxaxx，即200201ln21axxax，（*）得01ln2x，即120ex，则1221e22(e)a．当e2a时，12