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20182018年全国初中数学竞赛年全国初中数学竞赛（（初三组初三组））初赛试题参考答案和评分标准初赛试题参考答案和评分标准一、1.D2.B3.A4.B5.C6.C二、7.18.4k429.433或32-415710.①③三、11.设y=x2+2x，则原式可化为y+m2-1y-2m=0，即y2-2my+m2-1=0.………………………………………………………5分解得y1=m+1，y2=m-1.即x2+2x=m+1或x2+2x=m-1.……………………………………………………………………………………………10分所以x2+2x=m+1的判别式为Δ1=4m+8，x2+2x=m-1的判别式为Δ2=4m.…………………………………………………………………………………………15分因为Δ1Δ2，方程有三个不相等的实数根，所以Δ=4m=0，即m=0.即x2+2x+1=0或x2+2x-1=0.解得x1=-1，x2=2-1，x3=-2-1.……………………………………………20分四、12.（1）由题可证△EDH∽△BAE.所以DHAE=DEAB.所以DH=4.……………………………………………………………5分（2）过点F作FG⊥DC于点G，FM⊥AD，交AD的延长线于点M.因为tan∠ABE=34，AB=16，所以AE=12.所以DE=4.因为∠MEF+∠AEB=∠AEB+∠ABE=90°，所以∠MEF=∠ABE.又因为EF=BE，∠M=∠A，所以△EMF≌△BAE.所以ME=AB=16，FM=AE=12.…………………………………………………………………………………………10分所以DM=ME-DE=12．所以DM=MF.所以四边形DGFM是正方形.所以FG=DG=12.所以CG=4.所以CF=FG2+CG2=410.…………………………………………………………15分（3）由题意，可得S△CEF=S△CHF+S△CHE=12CH·EM.由△EMF≌△BAE，得EM=AB=16.所以S△CEF=12×16×CH=8CH.由△EDH∽△BAE，得DEAB=DHAE.…………………………………………………………………………………………20分设AE为x，则DH=DE·AEAB=()16-x·x16=116()-x2+16x=-116()x-82+4≤4.所以DH≤4.所以CH≥12.所以CH的最小值是12.所以△CEF面积的最小值是96.……………………………………………………………………………………………25分五、13.（1）抛物线的函数表达式为y=12x2－2x－52.……………………………………………………………………………5分（2）因为抛物线的函数表达式为y=12x2－2x－52，所以其对称轴为直线x=2.连接BC.因为点B（5，0），Cæèöø0,-52，所以可求得直线BC的函数表达式为y=12x-52.………………………………10分当x=2时，y=1-52=-32.所以使PA+PC的值最小时，点P的坐标为æèöø2,-32.……………………………………………………………………15分（3）存在，如图所示.①当点N在x轴下方时，因为抛物线的对称轴为直线x=2，Cæèöø0,-52，所以N1æèöø4,-52；………………………………20分②当点N在x轴上方时，过点N2作N2D⊥x轴于点D.所以△AN2D≌△M2CO.所以N2D=OC=52，即点N2的纵坐标为52.所以12x2-2x-52=52.解得x=2+14或x=2-14.所以点N2æèöø2+14，52，N3æèöø2-14，52.综上所述，符合条件的点N的坐标为æèöø4,-52，æèöø2+14，52或æèöø2-14，52.……………………………………………25分yxOCAN3M3M1N1N2M2D第13题图第1页（共1页）1