2018年全国卷Ⅲ理数高考试题（含答案）

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合|10Axx≥，012B，，，则ABA．0B．1C．12，D．012，，2．1i2iA．3iB．3iC．3iD．3i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若1sin3，则cos2A．89B．79C．79D．895．522xx的展开式中4x的系数为A．10B．20C．40D．806．直线20xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆2222xy上，则ABP△面积的取值范围是A．26，B．48，C．232，D．2232，7．函数422yxx的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，2.4DX，46PXPX，则pA．0.7B．0.6C．0.4D．0.39．ABC△的内角ABC，，的对边分别为a，b，c，若ABC△的面积为2224abc，则CA．π2B．π3C．π4D．π610．设ABCD，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC△为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为A．123B．183C．243D．54311．设12FF，是双曲线22221xyCab：（00ab，）的左、右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若16PFOP，则C的离心率为A．5B．2C．3D．212．设0.2log0.3a，2log0.3b，则A．0ababB．0ababC．0ababD．0abab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量=1,2a，=2,2b，=1,λc．若2∥ca+b，则________．14．曲线1exyax在点01，处的切线的斜率为2，则a________．15．函数πcos36fxx在0π，的零点个数为________．16．已知点11M，和抛物线24Cyx：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若90AMB∠，则k________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．学科.网（一）必考题：共60分．17．（12分）等比数列na中，15314aaa，．（1）求na的通项公式；（2）记nS为na的前n项和．若63mS，求m．18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22nadbcKabcdacbd，2PKk≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆22143xyC：交于A，B两点，线段AB的中点为10Mmm，．（1）证明：12k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FPFAFB0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．21．（12分）已知函数22ln12fxxaxxx．（1）若0a，证明：当10x时，0fx；当0x时，0fx；（2）若0x是fx的极大值点，求a．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，O⊙的参数方程为cossinxy，（为参数），过点02，且倾斜角为的直线l与O⊙交于AB，两点．（1）求的取值范围；学.科网（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数211fxxx．（1）画出yfx的图像；（2）当0x∈，，fxaxb≤，求ab的最小值．参考答案：123456789101112CDABCADBCBCB13.1214.315.316.217.(12分)解：（1）设{}na的公比为q，由题设得1nnaq.由已知得424qq，解得0q（舍去），2q或2q.故1(2)nna或12nna.（2）若1(2)nna，则1(2)3nnS.由63mS得(2)188m，此方程没有正整数解.若12nna，则21nnS.由63mS得264m，解得6m.综上，6m.18.（12分）解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知7981802m.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于2240(151555)106.63520202020K，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.（12分）解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为CD的中点.由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)DABCM，(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AMABDA设(,,)xyzn是平面MAB的法向量,则0,0.AMABnn即20,20.xyzy可取(1,0,2)n.DA是平面MCD的法向量,因此5cos,5||||DADADAnnn，25sin,5DAn，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是255.20.（12分）解：（1）设1221(,),(,)AyxyxB，则222212121,14343yxyx.两式相减，并由1221yxykx得1122043yxykx.由题设知12121,22xyxym，于是34km.①由题设得302m，故12k.（2）由题意得(1,0)F，设33(,)Pxy，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)yxxyxy.由（1）及题设得3321213()1,()20yyxxyxm.又点P在C上，所以34m，从而3(1,)2P，3||2FP.于是222211111||(1)(1)3(1)242xxFAxxy.同理2||22xFB.所以121||||4()32FAFBxx.故2||||||FPFAFB，即||,||,||FAFPFB成等差数列.设该数列的公差为d，则1122212112||||||||||()422FBFAxxxxxxd.②将34m代入①得1k.所以l的方程为74yx，代入C的方程，并整理得2171404xx.故121212,28xxxx，代入②解得321||28d.所以该数列的公差为32128或32128.21.(12分)解：（1）当0a时，()(2)ln(1)2fxxxx，()ln(1)1xfxxx.设函数()()ln(1)1xgxfxxx，则2()(1)xgxx.当10x时，()0gx；当0x时，()0gx.故当1x时，()(0)0gxg，且仅当0x时，()0gx，从而()0fx，且仅当0x时，()0fx.所以()fx在(1,)单调递增.学#科网又(0)0f，故当10x时，()0fx；当0x时，()0fx.（2）（i）若0a，由（1）知，当0x时，()(2)ln(1)20(0)fxxxxf，这与0x是()fx的极大值点矛盾.（ii）若0a，设函数22()2()ln(1)22fxxhxxxaxxax.由于当1||min{1,}||xa时，220xax，故()hx与()fx符号相同.又(0)(0)0hf，故0x是()fx的极大值点当且仅当0x是()hx的极大值点.2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)xaxxaxxaxaxahxxxaxxaxx.如果610a，则当6104axa，且1||min{1,}||xa时，()0hx，故0x不是()hx的极大值点.如果610a，则224610axaxa存在根10x，故当1(,0)xx，且1||min{1,}||xa时，()0hx，所以0x不是()hx的极大值点.如果610a，则322(24)()(1)(612)xxhxxxx