2018年天津文数高考试题（含答案）

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．·棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高.一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,3,4}A，{1,0,2,3}B，{|12}CxxR，则()ABC（A）{1,1}（B）{0,1}（C）{1,0,1}（D）{2,3,4}（2）设变量,xy满足约束条件52410xyxyxyy，，，，则目标函数35zxy的最大值为（A）6（B）19（C）21（D）45（3）设xR，则“38x”是“||2x”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（A）1（B）2（C）3（D）4（5）已知13313711log,(),log245abc，则,,abc的大小关系为（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab（6）将函数sin(2)5yx的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数（A）在区间[,]44上单调递增（B）在区间[,0]4上单调递减（C）在区间[,]42上单调递增（D）在区间[,]2上单调递减（7）已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,AB两点.设,AB到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126,dd则双曲线的方程为（A）22139xy（B）22193xy（C）221412xy（D）221124xy（8）在如图的平面图形中，已知1.2,120OMONMON,2,2,BMMACNNA则·BCOM的值为（A）15（B）9（C）6（D）0第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i是虚数单位，复数67i12i=__________．（10）已知函数f(x)=exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′（1）的值为__________．（11）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为__________．（12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．（13）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+18b的最小值为__________．（14）已知a∈R，函数22220220xxaxfxxxax，，，．若对任意x∈［–3，+），f(x)≤x恒成立，则a的取值范围是__________．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．（16）（本小题满分13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知bsinA=acos(B–π6)．（Ⅰ）求教B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．（17）（本小题满分13分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=23，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．（18）（本小题满分13分）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为53，||13AB.（I）求椭圆的方程；（II）设直线:(0)lykxk与椭圆交于,PQ两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若BPM△的面积是BPQ△面积的2倍，求k的值.（20）（本小题满分14分）设函数123()=()()()fxxtxtxt，其中123,,tttR,且123,,ttt是公差为d的等差数列.（I）若20,1,td求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（II）若3d，求()fx的极值；（III）若曲线()yfx与直线12()63yxt有三个互异的公共点，求d的取值范围.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．（1）C（2）C（3）A（4）B（5）D（6）A（7）A（8）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．（9）4–i（10）e（11）13（12）2220xyx（13）14（14）［18，2］三、解答题（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．学@科网所以，事件M发生的概率为P（M）=521．（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由πsincos()6bAaB，得πsincos()6aBaB，即πsincos()6BB，可得tan3B．又因为(0π)B，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos7bacacB，故b=7．由πsincos()6bAaB，可得3sin7A．因为ac，故2cos7A．因此43sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA．所以，sin(2)sin2coscos2sinABABAB4311333727214．（17）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM=22=13ADAM．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN=22=13ADAN．在等腰三角形DMN中，MN=1，可得1132cos26MNDMNDM．所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326．（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=3．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD=22ACAD=4．在Rt△CMD中，3sin4CMCDMCD．所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34．（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（I）解：设等比数列{}nb的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得220qq.因为0q，可得2q，故12nnb.所以122112nnnT.设等差数列{}na的公差为d.由435baa，可得134ad.由5462baa，可得131316,ad从而11,1ad，故nan，所以(1)2nnnS.（II）解：由（I），知13112(222)22.nnnTTTnn由12()4nnnnSTTTab可得11(1)2222nnnnnn，整理得2340,nn解得1n（舍），或4n.所以n的值为4.学&科网（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得2259ca，又由222abc，可得23.ab由22||13ABab,从而3,2ab.所以，椭圆的方程为22194xy.（II）解：设点P的坐标为11(,)xy，点M的坐标为22(,)xy，由题意，210xx，点Q的坐标为11(,).xy由BPM△的面积是BPQ△面积的2倍，可得||=2||PMPQ，从而21112[()]xxxx，即215xx.易知直线AB的方程为236xy，由方程组236,,xyykx消去y，可得2632xk.由方程组221,94,xyykx消去y，可得12694xk.由215xx，可得2945(32)kk，两边平方，整理得2182580kk，解得89k，或12k.当89k时，290x，不合题意，舍去；当12k时，212x，1125x，符合题意.所以，k的值为12.（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14