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1.1.3四种命题间的相互关系（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？观察与分析那么它们的真假性是否也有一定的关系呢？真假假真互逆命题有：互否命题有：互为逆否命题有：(1)(2);(3)(4)(1)(3);(2)(4)(1)(4);(2)(3)探究一：写出命题“到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.逆命题:角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等.否命题:到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个角的平分线上.逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边距离不相等.原命题：真命题逆命题：真命题否命题：真命题逆否命题：真命题探究二：写出命题“两个三角形全等,则它们的面积相等”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.逆命题:两个三角形的面积相等，则它们全等.否命题:两个三角形不全等，则它们的面积不相等.逆否命题:两个三角形的面积不相等，则它们不全等.原命题：真命题逆命题：假命题否命题：假命题逆否命题：真命题写出命题“相等的角是对顶角”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.探究三：逆命题:对顶角相等.否命题:不相等的角不是对顶角.逆否命题:不是对顶角就不相等.原命题：假命题逆命题：真命题否命题：真命题逆否命题：假命题从三个探究可发现什么规律？你能总结出来吗？原命题若p,则q逆命题若q,则p否命题若﹁p,则﹁q逆否命题若﹁q,则﹁p互否互否四种命题的相互关系结论一：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(1)两个命题互为逆否命题，则它们有相同真假性。(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.结论二：四种命题的真假性在横线上填写“互逆”“互否”“互为逆否”(1)命题:“若q则┐p”与命题“若┐q则p”(2)命题:“若┐p则q”与命题“若q则┐p”(3)命题:“若┐q则p”与命题“若┐p则q”互否互为逆否互逆练习1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假.（1）原命题：若ab，则ac2bc2否命题：逆命题：逆否命题：若ac2bc2，则ab若a≤b，则ac2≤bc2若ac2≤bc2，则a≤b假假真真练习2（2）原命题：若x=1或x=2，则x2-3x+2=0否命题：逆命题：逆否命题：若x2-3x+2=0，则x=1或x=2.若x2-3x+20，则x1且x2.若x1且x2则x2-3x+20真真真真（3）原命题：若x2＋y2＝0，则x=y=0逆命题：否命题：逆否命题：若x=y=0，则x2＋y2＝0若x2＋y2≠0，则x≠0或y≠0若x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0真真真真例1：分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明.即证明证明：若x2+y2=0，则x=y=0.“若x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0”证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2＞0，即有x2+y2≠0.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题这种解法叫做正难则反。在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接证明原命题为真命题.习题解答1.证明：若a-b=1,则a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3=a-b-1=0所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.练习1：P8练习证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2．练习2证明：若p＋q＞2，则p2＋q2＝［（p－q）2＋（p＋q）2］≥（p＋q）2＞×２２＝２所以p2＋q2≠2．这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.21212121在数学的证明中，我们会常常用到一种方法——反证法.通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论此处是命题的否定，要区别于否命题.反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;（2）从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;（3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确反设归谬结论例2：若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数),由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾∴a能被2整除.练习1.(2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A．3B．2C．1D．0C解析：原命题是真命题，则逆否命题也是真命题；否命题是假命题，则逆命题也是假命题.2.（2001江西、山西、天津文、理）在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是．（把符合要求的命题序号都填上）②3.设原命题：若a+b≥2，则中至少有一个不小于，则原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题A4.命题“若a＞b则ac＞bc”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．4B．3C．2D．0D5.命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0．”写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．逆否命题：若a²-4b0，则x²+ax+b≤0解集为空集。逆命题：若a²-4b≥0，则x²+ax+b≤0有非空解集；否命题：若x²+ax+b≤0解集为空集，则a²-4b0；真真真6.求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等.证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，则这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说两条边相等.这就证明了原命题的逆否命题是真命题所以原命题也是真命题.课堂小结1.四种命题的相互关系：2.四种命题的真假性：(1)两个命题互为逆否命题，则它们有相同真假性。(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.作业习题１.１B组第1题6.设0a,b,c1,求证:（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a不同时大于.14证明：假设（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a都大于即（1-a）b，（1-b）c,（1-c）a而得即，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立.1414141-a+b11-b+c1(1-a)b,(1-b)c,2222≥≥1-c+a1(1-c)a,22≥1-a+b1-b+c1-c+a3++2222332241