教辅：高考数学二轮复习考点-三角函数的图象与性质

考点九三角函数的图象与性质一、选择题1．(2020·陕西西安中学第四次模拟)为得到函数y＝－sin2x的图象，可将函数y＝sin2x－π3的图象()A．向右平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移2π3个单位答案A解析y＝－sin2x＝cos2x＋π2＝cos2x＋π4，y＝sin2x－π3＝cos2x－π3－π2＝cos2x－5π6＝cos2x－5π12，则要得到函数y＝－sin2x的图象，可将函数y＝sin2x－π3的图象向右平移π－π4－－5π12＝π3个单位．2．(2020·山东济宁嘉祥县一中考前训练二)若函数f(x)＝12sinx＋32cosx在[2π，α]上单调递增，则α的最大值为()A．3πB．5π2C．7π3D．13π6答案D解析由题意可得f(x)＝sinx＋π3，令2kπ－π2≤x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z，令k＝1，得7π6≤x≤13π6，所以α的最大值为13π6.故选D.3．(2020·吉林第四次调研测试)函数f(x)＝sinx＋π3＋asinx－π6的一条对称轴方程为x＝π2，则a＝()A．1B．3C．2D．3答案B解析∵f(x)＝sinx＋π3－acosx＋π3＝1＋a2·sinx＋π3－φ，其中tanφ＝a，函数f(x)的一条对称轴方程为x＝π2，∴fπ2＝±1＋a2，∴cosπ3＋acosπ6＝±1＋a2，化简得a＝3.4．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝sinx＋π3.给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②fπ2是f(x)的最大值；③把函数y＝sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A．①B．①③C．②③D．①②③答案B解析因为f(x)＝sinx＋π3，所以最小正周期T＝2π1＝2π，故①正确；fπ2＝sinπ2＋π3＝sin5π6＝12≠1，故②不正确；将函数y＝sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y＝sinx＋π3的图象，故③正确．故选B.5．(2020·山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)若f(x)＝sinωx－π6(x∈[0，π]，ω0)有零点，值域为M⊆－22，＋∞，则ω的取值范围是()A.12，43B．43，2C．16，13D．16，1712答案D解析x∈[0，π]，则ωx－π6∈－π6，ωπ－π6，又f(x)有零点，值域为M⊆－22，＋∞，故0≤ωπ－π6≤5π4，解得16≤ω≤1712.故选D.6．(2020·山东日照一模)已知函数f(x)＝2sinωx和g(x)＝2cosωx(ω0)图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点．为了得到y＝g(x)的图象，只需把y＝f(x)的图象()A．向左平移1个单位B．向左平移π2个单位C．向右平移1个单位D．向右平移π2个单位答案A解析如图所示，令f(x)＝2sinωx＝g(x)＝2cosωx，则tanωx＝1，x＝π4ω＋kπω，k∈Z.取靠近原点的三个交点，A－3π4ω，－1，Bπ4ω，1，C5π4ω，－1，由△ABC为等腰直角三角形，得5π4ω＋3π4ω＝2πω＝4，故ω＝π2，故f(x)＝2sinπ2x，g(x)＝2cosπ2x＝2sinπ2x＋π2，故为了得到y＝g(x)的图象，只需把y＝f(x)的图象向左平移1个单位．故选A.7．(多选)(2020·山东泰安四模)设函数g(x)＝sinωx(ω＞0)向左平移π5ω个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于直线x＝π2对称B．f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，在(0,2π)上有且只有2个极小值点C．f(x)在0，π10上单调递增D．ω的取值范围是125，2910答案CD解析依题意得f(x)＝gx＋π5ω＝sinωx＋π5ω＝sinωx＋π5，T＝2πω，如图，对于A，令ωx＋π5＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπω＋3π10ω，k∈Z，所以f(x)的图象关于直线x＝kπω＋3π10ω(k∈Z)对称，故A不正确；对于B，根据图象可知，xA≤2πxB，所以f(x)在(0,2π)上有3个极大值点，f(x)在(0,2π)上有2个或3个极小值点，故B不正确；对于D，因为xA＝－π5ω＋52T＝－π5ω＋52×2πω＝24π5ω，xB＝－π5ω＋3T＝－π5ω＋3×2πω＝29π5ω，所以24π5ω≤2π29π5ω，解得125≤ω2910，故D正确；对于C，因为－π5ω＋14T＝－π5ω＋14×2πω＝3π10ω，由图可知f(x)在0，3π10ω上单调递增，因为ω29103，所以π10－3π10ω＝π101－3ω0，所以f(x)在0，π10上单调递增，故C正确．故选CD.8．(多选)(2020·山东威海三模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0,0φπ)，将y＝f(x)的图象上所有点向左平移π3个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数y＝g(x)的图象．若g(x)为偶函数，且最小正周期为π2，则()A．y＝f(x)的图象关于π12，0对称B．f(x)在0，5π12上单调递增C．f(x)＝gx2在0，5π4上有且仅有3个解D．g(x)在π12，5π4上有且仅有3个极大值点答案AC解析函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，将y＝f(x)的图象上所有点向左平移π3个单位，可得y＝sinωx＋π3＋φ，再将横坐标缩短为原来的12，可得g(x)＝sin2ωx＋ωπ3＋φ，因为函数g(x)的最小正周期为π2，即2π2ω＝π2，解得ω＝2，可得g(x)＝sin4x＋2π3＋φ，又函数g(x)为偶函数，则2π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，即φ＝－π6＋kπ，k∈Z，当k＝1时，可得φ＝5π6，所以f(x)＝sin2x＋5π6，令2x＋5π6＝kπ，k∈Z，得x＝kπ2－5π12，k∈Z，当k＝1时，x＝π12，即函数f(x)的图象关于π12，0对称，所以A正确；当x∈0，5π12时，5π62x＋5π65π3，所以函数f(x)在区间0，5π12上不是单调函数，所以B不正确；由g(x)＝sin4x＋2π3＋5π6＝sin4x＋3π2＝－cos4x，f(x)＝gx2，可得sin2x＋5π6＝－cos2x，－32sin2x＋32cos2x＝0，－3sin2x－π3＝0，所以2x－π3＝kπ，k∈Z，x＝kπ2＋π6，k∈Z，又因为x∈0，5π4，所以x＝π6，2π3，7π6，所以f(x)＝gx2在0，5π4上有且仅有3个解，所以C正确；由x∈π12，5π4，得4x∈π3，5π，当4x＝π或4x＝3π，即x＝π4或x＝3π4时，g(x)取得极大值，所以g(x)在π12，5π4上有且仅有2个极大值点，所以D不正确．故选AC.二、填空题9．已知函数f(x)＝sin[2(x＋φ)](φ0)是偶函数，则φ的最小值是________．答案π4解析因为f(x)＝sin(2x＋2φ)是偶函数，所以2φ＝π2＋kπ，k∈Z，即φ＝π4＋kπ2，k∈Z，又φ0，故当k＝0时，φ取得最小值π4.10．(2020·江苏高考)将函数y＝3sin2x＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．答案x＝－5π24解析将函数y＝3sin2x＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象对应的解析式为y＝3sin2x－π6＋π4＝3sin2x－π12，令2x－π12＝π2＋kπ(k∈Z)，得x＝7π24＋kπ2(k∈Z)．当k＝－1时，x＝－5π24，当k＝0时，x＝7π24，故与y轴最近的对称轴方程为x＝－5π24.11．(2020·山东德州一模)若函数f(x)＝sinωx＋π6(ω0)在0，5π18上存在唯一极值点，且在π2，π上单调，则ω的取值范围为________．答案65ω≤43解析x∈0，5π18，则ωx＋π6∈π6，5π18ω＋π6，故π25π18ω＋π6≤3π2，解得65ω≤245，T2≥π－π2＝π2，故T≥π，ω≤2，即65ω≤2.x∈π2，π，则ωx＋π6∈π2ω＋π6，πω＋π6，故π2ω＋π6∈23π30，7π6，则πω＋π6≤3π2，解得ω≤43.综上所述，65ω≤43.12．(2020·浙江宁波二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，0φπ2的图象关于点π4，0对称，关于直线x＝－π4对称，最小正周期T∈π2，π，则T＝________，f(x)的单调递减区间是________．答案2π32kπ3＋π12，2kπ3＋5π12(k∈Z)解析由于f(x)的最小正周期T∈π2，π，ω0，所以2πω∈π2，π⇒2ω4.由于f(x)的图象关于点π4，0对称，关于直线x＝－π4对称，所以π4ω＋φ＝k1π，－π4ω＋φ＝k2π＋π2，k1，k2∈Z，两式相加得2φ＝(k1＋k2)π＋π2，k1，k2∈Z，由于0φπ2，02φπ，所以2φ＝π2⇒φ＝π4.则π4ω＋π4＝k1π⇒ω＝4k1－1，k1∈Z，结合2ω4可得ω＝3，所以f(x)＝sin3x＋π4.所以f(x)的最小正周期为T＝2π3.由2kπ＋π2≤3x＋π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，解得2kπ3＋π12≤x≤2kπ3＋5π12，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为2kπ3＋π12，2kπ3＋5π12(k∈Z)．三、解答题13.(2020·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，设h(x)＝g(x)＋f(x)，求函数h(x)在0，π2上的最大值．解(1)由题意可得A＝2，最小正周期T＝4×7π12－π3＝π，则ω＝2πT＝2，由f7π12＝2sin7π6＋φ＝－2，|φ|π2，可得φ＝π3，所以f(x)＝2sin2x＋π3.(2)由题意可知g(x)＝2sin2x－π6＋π3＝2sin2x，所以h(x)＝g(x)＋f(x)＝2sin2x＋2sin2x＋π3＝2sin2x＋2sin2xcosπ3＋2cos2xsinπ3＝3sin2x＋3cos2x＝23sin2x＋π6.由x∈0，π2可得2x＋π6∈π6，7π6，所以函数h(x)在0，π2上的最大