教辅：高考数学二轮复习考点-直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线

考点十五直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线一、选择题1．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是()A．1B．－2C．1或－2D．－32答案A解析①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得－11＋m＝－m2，21＋m≠－2，解得m＝1，故选A.2．(2020·广州综合测试)若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是()A．[－3，＋∞)B．(－∞，－3]C．(0，＋∞)D．(－∞，＋∞)答案D解析圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心为(－1,2)，半径为2，由题意可知圆心到直线kx－y＋1＝0的距离d＝|－k－2＋1|k2＋1≤2，化简，得3k－132＋83≥0，故k∈(－∞，＋∞)．故选D.3．(2020·山东菏泽高三联考)已知双曲线x25－y2a＝1的一条渐近线上存在一点到x轴的距离与到原点O的距离之比为23，则实数a的值为()A．2B．4C．6D．8答案B解析由题意，得该双曲线的一条渐近线的斜率为232－22＝25，则a5＝25，解得a＝4.故选B.4．(2020·山东泰安四模)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p＝()A．1B．2C．2D．22答案B解析由题意，得p4，1在抛物线上，代入抛物线的方程可得1＝p22，∵p0，∴p＝2，故选B.5．(2020·衡中高三质量检测一)已知椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A．mn且e1e21B．mn且e1e21C．mn且e1e21D．mn且e1e21答案A解析由于椭圆C1与双曲线C2的焦点重合，则m2－1＝n2＋1，则m2－n2＝20，∵m1，n0，∴mn.∵e1＝m2－1m＝1－1m2，e2＝n2＋1n＝1＋1n2，∴e1e2＝1－1m21＋1n2＝1＋1n2－1m2－1m2n2＝1＋m2－n2－1m2n2＝1＋1m2n21，故选A.6．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线()A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OP答案B解析如图所示，因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据抛物线的定义可知|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.7．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，()A．若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n0，则C是圆，其半径为nC．若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±－mnxD．若m＝0，n0，则C是两条直线答案ACD解析对于A，若mn0，则mx2＋ny2＝1可化为x21m＋y21n＝1，因为mn0，所以1m1n，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m＝n0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝1n，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若mn0，则mx2＋ny2＝1可化为x21m＋y21n＝1，此时曲线C表示双曲线，由mx2＋ny2＝0可得y＝±－mnx，故C正确；对于D，若m＝0，n0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝1n，y＝±nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选ACD.8．(多选)(2020·山东潍坊6月模拟)已知椭圆C：x2a＋y2b＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆的内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为0，5－12D．若PF1→＝F1Q→，则椭圆C的长轴长为5＋17答案ACD解析因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|≥2a－|PF2|＝2a－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确；若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆C的方程为x22＋y21＝1，又12＋111，则点P在椭圆外，故B错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以1a＋1b1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以1a＋1a－11，即a2－3a＋10，解得a3＋52＝6＋254＝1＋524，所以a1＋52，所以e＝1a5－12，所以椭圆C的离心率的取值范围为0，5－12，故C正确；若PF1→＝F1Q→，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以9a＋1b＝1，又a－b＝1，所以9a＋1a－1＝1(a1)，即a2－11a＋9＝0(a1)，解得a＝11＋852＝22＋2854＝5＋1724，所以a＝5＋172，所以椭圆C的长轴长为5＋17，故D正确．故选ACD.二、填空题9．(2020·山东省实验中学高三6月模拟)以抛物线y2＝2x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．答案x－122＋y2＝1解析抛物线y2＝2x的焦点为12，0，准线方程为x＝－12，焦点到准线的距离为1，所以圆的圆心为12，0，半径为1，故圆的标准方程为x－122＋y2＝1.10．(2020·北京高考)已知双曲线C：x26－y23＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．答案(3,0)3解析在双曲线C中，a＝6，b＝3，则c＝a2＋b2＝3，则双曲线C的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C的渐近线方程为y＝±22x，即x±2y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为31＋2＝3.11．(2020·河南开封高三3月模拟)已知F1，F2是椭圆E：x2a2＋y23＝1的左、右焦点，点M在E上，且∠F1MF2＝2π3，则△F1MF2的面积为________．答案33解析由题意，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，则m＋n＝2a，由余弦定理可得，4c2＝m2＋n2－2mncos2π3＝(m＋n)2－mn＝4a2－mn，又c2＝a2－3，∴mn＝12，∴△F1MF2的面积S＝12mnsin2π3＝33.12.(2020·株洲第二中学4月模拟)如图，点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆x2＋(y－1)2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则△AFB周长的取值范围是________．答案(4,6)解析∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，圆x2＋(y－1)2＝4的圆心F(0,1)，半径R＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝yA＋1，|AB|＝yB－yA，∴△AFB的周长为|FB|＋|AF|＋|AB|＝2＋yA＋1＋yB－yA＝3＋yB，∵1yB3，∴△AFB周长的取值范围是(4,6)．三、解答题13．过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA.(1)求弦OA的中点M的轨迹方程；(2)延长OA到N，使|OA|＝|AN|，求点N的轨迹方程．解(1)设M的坐标为(x，y)，则A(2x,2y)，因为点A在圆x2＋y2－8x＝0上，所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.又点O与A不重合，所以x≠0.因此，点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(x≠0)．(2)设N(x，y)，∵|OA|＝|AN|，∴A为线段ON的中点，∴A12x，12y，又A在圆x2＋y2－8x＝0上，∴12x2＋12y2－4x＝0，即x2＋y2－16x＝0.又点O与A不重合，所以x≠0.因此，点N的轨迹方程为x2＋y2－16x＝0(x≠0)．14．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝43|AB|.(1)求C1的离心率；(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．解(1)因为椭圆C1的右焦点为F(c,0)，所以抛物线C2的方程为y2＝4cx，其中c＝a2－b2.不妨设A，C在第一象限，因为椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，所以当x＝c时，有c2a2＋y2b2＝1⇒y＝±b2a，因此A，B的纵坐标分别为b2a，－b2a.又因为抛物线C2的方程为y2＝4cx，所以当x＝c时，有y2＝4c·c⇒y＝±2c，所以C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝2b2a，|CD|＝4c.由|CD|＝43|AB|，得4c＝8b23a，即3·ca＝2－2ca2，解得ca＝－2(舍去)，ca＝12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，故椭圆C1：x24c2＋y23c2＝1，所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，3c)，(0，－3c)，C2的准线方程为x＝－c.由已知，得3c＋c＋c＋c＝12，解得c＝2.所以a＝4，b＝23，所以C1的标准方程为x216＋y212＝1，C2的标准方程为y2＝8x.一、选择题1．(2020·山东济南二模)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点P在抛物线上且横坐标为4，则|PF|＝()A．2B．3C．5D．6答案C解析将x＝4代入抛物线方程得P(4,4)，根据抛物线定义得|PF|＝4＋p2＝4＋1＝5.故选C.2．(2020·湖北荆州高三阶段训练)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为()A.1＋e1－er＋2e1－eRB．1＋e1－er＋e1－eRC.1－e1＋er＋2e1＋eRD．1－e1＋er＋e1＋eR答案A解析椭圆的离心率e＝ca∈(0,1)(c为半焦距，a为长半轴长)，设该卫星远地点离地面的距离为n，如图：则n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝r＋R1－e，c＝r＋Re1－e，所以n＝a＋c－R＝r＋R1－e＋er＋R1－e－R＝1＋e1－er＋2e1－eR.故选A.3．(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A．4B．5C．6D．7答案A解析设圆心为C(x，y)，则x－32＋y－42＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝32＋42＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.4．(2020·山东潍坊高密二模)已知双曲线x2a2－y22＝1的一条渐近线的倾斜角为π6，则双曲线的离心率为()A.233B．263C．3D．2答案A解析双曲线x2a2－y22＝1的一条渐近线的倾斜角为π6，tanπ6＝33，所以该条渐近线方程为y＝33x，所以2a＝33，解得a＝6，所以c＝a2＋b2＝6＋2＝22，所以双曲线的离心率为e＝ca＝226＝233.故选A.5．(2020·山西太原五中3月模拟)若过椭圆x29＋y24＝1内一点P(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为()A．8x＋9y－25＝0B．3x－4y－5＝0C．4x＋3y－15＝0D．4x－3y－9＝0答案A解析设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，P为AB的中点，因为A，B在椭圆上，所以x219＋y214＝1，x229＋y224＝1