教辅：高考数学复习练习之选填题4

选填题(四)一、单项选择题1．(2020·陕西西安中学第八次模拟)已知集合A＝{x∈Z|－x2＋x＋20}，则集合A的真子集个数为()A．3B．4C．7D．8答案A解析因为A＝{x∈Z|－x2＋x＋20}＝{x∈Z|－1x2}＝{0,1}，所以集合A的真子集个数为22－1＝3.故选A.2．设z是复数，则下列命题中是假命题的是()A．若z是纯虚数，则z20B．若z是虚数，则z2≥0C．若z2≥0，则z是实数D．若z20，则z是虚数答案B解析若z＝ai(a∈R，且a≠0)，则z2＝－a20，A正确；当z＝a＋bi(a，b∈R，且ab≠0)时，z2＝a2－b2＋2abi是虚数，不能比较大小，B错误；当z＝a＋bi(a，b∈R)时，若z2≥0，则b＝0，即z是实数，C正确；若z20，则z不是实数，D正确．故选B.3．(2020·山东淄博二模)已知a＝log42，b＝1212，c＝1313，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．abcC．cabD．cba答案A解析a＝log42＝log4412＝12，∵126＝164，12126＝18，13136＝19，∴1261313612126，∵y＝x6在[0，＋∞)上单调递增，∴1213131212，即acb.故选A.4．(2020·山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)＝xex－e－xx2－1的图象大致是()答案C解析函数的定义域为{x|x≠±1}，f(－x)＝－xe－x－exx2－1＝xex－e－xx2－1＝f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A；当x1时，f(x)0恒成立，排除B，D.故选C.5．(2020·山东日照二模)设{an}是等差数列．下列结论中正确的是()A．若a1＋a20，则a2＋a30B．若a1＋a30，则a1＋a20C．若0a1a2，则a2a1a3D．若a10，则(a2－a1)(a2－a3)0答案C解析先分析四个答案，A项举一反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a20，而a2＋a30，A错误；B项举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a30，而a1＋a20，B错误；D项，a2－a1＝d，a2－a3＝－d，∴(a2－a1)·(a2－a3)＝－d2≤0，故D错误；下面针对C进行研究，{an}是等差数列，若0a1a2，则a10，设公差为d，则d0，数列各项均为正，由于a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a21＋2a1d＋d2－a21－2a1d＝d20，所以a22a1a3，所以a2a1a3.故选C.6．(2020·新高考卷Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%答案C解析记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A＋B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.7．(2020·四川成都石室中学一诊)在(2x－1)(x－y)6的展开式中x3y3的系数为()A．50B．20C．15D．－20答案B解析∵(2x－1)(x－y)6＝(2x－1)(C06x6－C16x5y＋C26x4y2－C36x3y3＋C46x2y4－C56xy5＋C66y6)，故展开式中x3y3的系数为C36＝20，故选B.8．(2020·长春吉大附中三模)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1→·AF2→＝0，AF2→＝2F2B→，则椭圆E的离心率为()A.23B．34C．53D．74答案C解析∵AF2→＝2F2B→，设|BF2|＝x，则|AF2|＝2x，由椭圆的定义，可以得到|AF1|＝2a－2x，|BF1|＝2a－x.∵AF1→·AF2→＝0，∴AF1⊥AF2，在Rt△AF1B中，有(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2，解得x＝a3或x＝0(舍去)，∴|AF2|＝2a3，|AF1|＝4a3，在Rt△AF1F2中，有4a32＋2a32＝(2c)2，整理得c2a2＝59，∴e＝ca＝53，故选C.二、多项选择题9.如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是()A.AD→－AC→＝12AB→B.AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0C．|OA→＋2OD→|＝0D.OA→＝23DC→＋13DB→答案ABC解析AD→－AC→＝CD→＝12AB→，所以A正确；AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0，所以B正确；△OCD∽△OBA，所以CDAB＝ODOA＝12，所以OD→＝－12OA→，所以|OA→＋2OD→|＝|OA→－OA→|＝|0|＝0，所以C正确；OA→＝23DA→＝23(DB→＋BA→)＝23(DB→＋2DC→)＝23DB→＋43DC→，故D不正确．故选ABC.10．(2020·山东青岛一模)已知函数f(x)＝sin2x＋23sinxcosx－cos2x，x∈R，则()A．－2≤f(x)≤2B．f(x)在区间(0，π)上只有1个零点C．f(x)的最小正周期为πD．x＝π3为f(x)图象的一条对称轴答案ACD解析已知函数f(x)＝sin2x＋23sinxcosx－cos2x＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6，x∈R，则－2≤f(x)≤2，A正确；当f(x)＝0时，2x－π6＝kπ，k∈Z，即x＝kπ2＋π12，k∈Z，所以f(x)在区间(0，π)上只有2个零点，B错误；f(x)的最小正周期为π，C正确；当x＝π3时，函数f(x)＝2sin2x－π6，x∈R，fπ3＝2sin2×π3－π6＝2.所以x＝π3为f(x)图象的一条对称轴，D正确．故选ACD.11．(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，以下结论正确的是()A．四边形BFD1E不一定是平行四边形B．平面α分正方体所得两部分的体积相等C．平面α与平面DBB1不可能垂直D．四边形BFD1E面积的最大值为2答案BD解析如图所示，对于A，因为平面ABB1A1∥平面CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面CC1D1D＝D1F，所以BE∥D1F，同理可证D1E∥BF，所以四边形BFD1E是平行四边形，故A错误；对于B，由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故B正确；对于C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有AC⊥BD，AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D，当E，F分别为棱AA1，CC1的中点时，有AC∥EF，则EF⊥平面BB1D，又因为EF⊂平面BFD1E，所以平面BFD1E⊥平面BB1D，故C错误；对于D，四边形BFD1E在平面ABCD内的投影是正方形ABCD，当E与A重合，F与C1重合时，四边形BFD1E的面积有最大值，此时S＝D1E·BE＝2×1＝2，故D正确．故选BD.12．(2020·山东滨州三模)已知函数f(x)＝ex＋e－x＋|x|，则下面结论正确的是()A．f(x)是奇函数B．f(x)在[0，＋∞)上为增函数C．若x≠0，则fx＋1xe2＋2D．若f(x－1)f(－1)，则0x2答案BCD解析对于A，函数f(x)＝ex＋e－x＋|x|的定义域为R，f(－x)＝e－x＋ex＋|－x|＝e－x＋ex＋|x|＝f(x)，则函数y＝f(x)为偶函数，A错误；对于B，当x≥0时，f(x)＝ex＋e－x＋x，则f′(x)＝ex－e－x＋1≥1，所以函数y＝f(x)在[0，＋∞)上为增函数，B正确；对于C，当x0时，由基本不等式可得x＋1x≥2x·1x＝2，由于函数y＝f(x)在[0，＋∞)上为增函数，此时fx＋1x≥f(2)＝e2＋e－2＋2e2＋2，当x0时，－x－1x≥2－x·1－x＝2，fx＋1x＝f－x－1xe2＋2.综上所述，当x≠0时，fx＋1xe2＋2，C正确；对于D，由于函数y＝f(x)为偶函数，由f(x－1)f(－1)得f(|x－1|)f(1)，由于函数y＝f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则|x－1|1，解得0x2，D正确．故选BCD.三、填空题13．(2020·海口市高考模拟演练)第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，本届冬奥会比赛共设15个项目，其中包含5个冰上项目和10个雪上项目，李华计划从中选1个冰上项目和2个雪上项目去现场观看，则共有________种不同的选法．答案225解析不同的选法有C15C210＝225种．14．(2020·海南省高考调研测试)已知a0，b0，且a＋b＝2，则5a＋15b的最小值是________．答案185解析因为a＋b＝2，所以5a＋15b＝12(a＋b)5a＋15b＝125ba＋a5b＋265.因为a0，b0，所以5ba＋a5b≥2(当且仅当a＝53，b＝13时，等号成立)，所以5a＋15b≥12×2＋265＝185.15．(2020·山东潍坊6月模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与圆F：(x－2)2＋y2＝3相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的方程为________．答案x2－y23＝1解析由题意，圆F：(x－2)2＋y2＝3的圆心F(2,0)是双曲线C的右焦点，∴c＝2.双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.∵双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与圆F：(x－2)2＋y2＝3相切，∴圆心F(2,0)到直线y＝bax的距离等于半径3，即|2b－0|a2＋b2＝3，∴b2＝3a2，又c2＝a2＋b2＝4，∴a2＝1，b2＝3.∴双曲线C的方程为x2－y23＝1.16．(2020·浙江杭州高级中学下学期仿真模拟)在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝135°，AB＝32，AC＝35，CD＝5，则sin∠ACB＝________，AD＝________.答案55210解析由正弦定理，得ABsin∠ACB＝ACsin∠ABC，∴32sin∠ACB＝35sin3π4，∴sin∠ACB＝55，∴cos∠ACD＝cosπ2－∠ACB＝sin∠ACB＝55，由余弦定理，得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝(35)2＋52－2×35×5×55＝40，所以AD＝210.