教辅：高考数学复习练习之选填题7

选填题(七)一、单项选择题1．若复数z＝(x2＋x－2)＋(x＋2)i为纯虚数，则实数x＝()A．1B．－2C．1或－2D．－1或2答案A解析由已知得x2＋x－2＝0，x＋2≠0，解得x＝1.2．设U＝A∪B，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{10以内的素数}，则∁U(A∩B)＝()A．{2,4,7}B．∅C．{4,7}D．{1,4,7}答案D解析∵B＝{2,3,5,7}，∴A∩B＝{2,3,5}，A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，则∁U(A∩B)＝{1,4,7}．故选D.3．(2020·山东临沂一模)若a∈R，则“|a|1”是“a31”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当|a|1时，取a＝－2，则a3＝－81，故充分性不成立；当a31时，根据幂函数y＝x3的单调性得到a1，故|a|1，必要性成立．故选B.4．(2020·山东潍坊高密一模)若sinθ＝5cos(2π－θ)，则tan2θ＝()A．－53B．53C．－52D．52答案C解析∵sinθ＝5cos(2π－θ)，∴sinθ＝5cosθ，得tanθ＝5，∴tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝251－52＝－52.故选C.5．(2020·山西太原模拟一)函数f(x)＝x2－1|x|的图象大致为()答案D解析由题意，函数f(x)＝x2－1|x|，可得f(－x)＝－x2－1|－x|＝x2－1|x|＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y对称，排除B，C；当x0时，f(x)＝x2－1x＝x－1x，则f′(x)＝1＋1x2＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，排除A.故选D.6．(2020·山东青岛一模)某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率是()A.112125B．80125C．113125D．124125答案A解析该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率P＝453＋C2345215＝112125.故选A.7.(2020·陕西西安中学下学期仿真考试一)在△ABC中，已知D是BC延长线上一点．点E为线段AD的中点．若BC→＝2CD→，且AE→＝λAB→＋34AC→，则λ＝()A．－14B．14C．－13D．13答案A解析∵AE→＝12AD→，AD→＝BD→－BA→，BC→＝BA→＋AC→，BD→＝32BC→，∴AE→＝12AD→＝12(BD→－BA→)＝12BD→＋12AB→＝34BC→＋12AB→＝34(BA→＋AC→)＋12AB→＝－34AB→＋34AC→＋12AB→＝－14AB→＋34AC→.∵AE→＝λAB→＋34AC→，∴λ＝－14.故选A.8．(2020·山东日照二模)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e21＋3e22的值为()A．1B．2512C．4D．16答案C解析如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝π3，则在△PF1F2中，由余弦定理，得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cosπ3，∴化简a21＋3a22＝4c2，得1e21＋3e22＝4，故选C.二、多项选择题9．(2020·山东德州一模)某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是()A．样本中女生人数多于男生人数B．样本中B层人数最多C．样本中E层次男生人数为6D．样本中D层次男生人数多于女生人数答案ABC解析样本中女生人数为9＋24＋15＋9＋3＝60，男生人数为100－60＝40，A正确；样本中A层人数为9＋40×10%＝13，样本中B层人数为24＋40×30%＝36，样本中C层人数为15＋40×25%＝25，样本中D层人数为9＋40×20%＝17，样本中E层人数为3＋40×15%＝9，故B正确；样本中E层次男生人数为40×15%＝6，C正确；样本中D层次男生人数为40×20%＝8，女生人数为9，D错误．故选ABC.10．等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选择项正确的是()A．d0B．a10C．当n＝5时，Sn最小D．Sn0时，n的最小值为8答案ABD解析设等差数列{an}的公差为d，由a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d，又由等差数列{an}是递增数列，可知d0，则a10，故A，B正确；因为Sn＝d2n2＋a1－d2n＝d2n2－7d2n，由n＝－－7d2d＝72可知，当n＝3或4时Sn最小，故C错误；令Sn＝d2n2－7d2n0，解得n0或n7，即Sn0时n的最小值为8，故D正确．故选ABD.11．(2020·山东潍坊高密二模)过抛物线C：y2＝8x的焦点F且斜率为3的直线l与抛物线交于P，Q两点(P在第一象限)，以PF，QF为直径的圆分别与y轴相切于A，B两点，则下列结论正确的是()A．抛物线C：y2＝8x的焦点F坐标为(2,0)B．|PQ|＝323C．M为抛物线C上的动点，N(2,1)，则(|MF|＋|MN|)min＝6D．|AB|＝833答案ABD解析由题意可得抛物线的焦点F(2,0)，所以A正确；由题意设直线PQ的方程为y＝3(x－2)，与抛物线的方程联立整理可得3x2－20x＋12＝0，解得x＝23或6，代入直线PQ的方程可得y分别为－433，43，由题意可得P(6,43)，Q23，－433，所以|PQ|＝6＋23＋4＝323，所以B正确；如图，M在抛物线上，ME垂直准线于E，可得|MF|＝|ME|，所以|MF|＋|MN|＝|ME|＋|MN|≥|NE|＝2＋2＝4，当N，M，E三点共线时，|MF|＋|MN|最小，且最小值为4，所以C不正确；因为P(6,43)，Q23，－433，所以PF，QF的中点的坐标分别为(4,23)，43，－233，所以由题意可得A(0,23)，B0，－233，所以|AB|＝23＋233＝833，所以D正确．故选ABD.12．(2020·山东枣庄二调)对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是()A．∃x∈R，x≥[x]＋1B．∀x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]C．函数y＝x－[x](x∈R)的值域为[0,1)D．若∃t∈R，使得[t3]＝1，[t4]＝2，[t5]＝3，…，[tn]＝n－2同时成立，则正整数n的最大值是5答案BCD解析[x]是整数，若x≥[x]＋1，[x]＋1是整数，∴[x]≥[x]＋1，矛盾，∴A错误；∀x，y∈R，[x]≤x，[y]≤y，∴[x]＋[y]≤x＋y，∴[x]＋[y]≤[x＋y]，B正确；由定义知x－1[x]≤x，∴0≤x－[x]1，∴函数y＝x－[x](x∈R)的值域是[0,1)，C正确；若∃t∈R，使得[t3]＝1，[t4]＝2，[t5]＝3，…，[tn]＝n－2同时成立，则1≤t32，42≤t43，53≤t54，64≤t65，…，nn－2≤tnn－1，∵64＝32，若n≥6，则不存在t同时满足1≤t32，64≤t65.只有n≤5时，存在t∈[53，32)满足题意，D正确．故选BCD.三、填空题13．(2020·江西高三6月大联考)已知函数f(x)＝log2(x＋1)＋3，若f(a＋2)＝5，则a＝________.答案1解析由题意可得f(a＋2)＝log2(a＋3)＋3＝5，解得a＝1.14．(2020·山东日照二模)某学校在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师各至少一名，则不同的选取方式的种数为________(结果用数值表示)．答案120解析在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，总的方法为C59，选择全都是女教师的情况为C56，所以男、女教师各至少一名的选取种数为C59－C56＝9！5！9－5！－6！5！6－5！＝9×8×7×64×3×2×1－6＝120种．15．(2020·山东枣庄二调)三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝4，△ABC是边长为23的正三角形，D1是线段B1C1的中点，点D是线段A1D1上的动点，则三棱锥D－ABC外接球的表面积的取值集合为____________(用区间表示)．答案[25π，32π]解析如图，设M，N分别是正三棱柱下底面和上底面中心，则三棱锥D－ABC的外接球球心O在MN上，由AB＝23得CM＝2，MN＝AA1＝4，设球半径为R，DN＝x，则0≤x≤2，由OD2－DN2＋OC2－CM2＝MN得R2－x2＋R2－4＝4，解得R2＝x2＋12264＋4，∵0≤x≤2，∴x＝0时，R2min＝254，x＝2时，R2max＝8，∴Smin＝4π×254＝25π，Smax＝4π×8＝32π，故答案为[25π，32π]．16.(2020·呼和浩特模拟)如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，且AM＝AN＝2千米，若要求观景台P与两接送点所成角∠MPN与∠BAC相等，记∠PMA＝α，观景台P到M，N建造的两条观光线路PM与PN之和记为y，则把y表示为α的函数为y＝________；当两台观光线路之和最长时，观景台P到A点的距离PA＝________千米．答案4sin(α＋30°)，其中30°α90°2解析由余弦定理可得MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos120°＝4＋4－2×2×2×－12＝12，则MN＝23，∵∠MPN＝∠BAC＝120°，∠PMA＝α，∴∠ANM＝∠AMN＝30°，∴∠PMN＝α－30°，∴∠PNM＝90°－α，由正弦定理可得PMsin90°－α＝PNsinα－30°＝MNsin120°＝4，∴PM＝4sin(90°－α)＝4cosα，PN＝4sin(α－30°)＝23sinα－2cosα，∴y＝PM＋PN＝4cosα＋23sinα－2cosα＝23sinα＋2cosα＝4sin(α＋30°)，其中30°α90°，∴60°α＋30°120°，∴32sin(α＋30°)≤1，∴当α＝60°时，此时PM＋PN的长度最长，此时PM＝PN＝2，∴PA＝2.