教辅：高考数学复习练习之选填题8

选填题(八)一、单项选择题1．(2020·山东泰安五模)已知集合A＝{x|x2－x0}，B＝{x|x1或x0}，则()A．B⊆AB．A⊆BC．A∪B＝RD．A∩B＝∅答案D解析解不等式x2－x0得0x1，则A＝{x|0x1}．因为B＝{x|x1或x0}，所以A∩B＝∅，故选D.2．(2020·海南第一次联考)命题“∀x0，x(x＋1)(x－1)2”的否定为()A．∀x0，x(x＋1)≤(x－1)2B．∀x≤0，x(x＋1)(x－1)2C．∃x0，x(x＋1)≤(x－1)2D．∃x≤0，x(x＋1)(x－1)2答案C解析命题“∀x0，x(x＋1)(x－1)2”的否定为“∃x0，x(x＋1)≤(x－1)2”．故选C.3．(2020·山东淄博摸底)为庆祝中华人民共和国成立70周年，某校组织“我和我的祖国”知识竞赛活动，30名参加比赛学生的得分情况(十分制)如图所示，则得分的中位数m，众数n，平均数p的大小关系是()A．m＝npB．mnpC．npmD．pm＝n答案A解析由条形图可得m＝6，n＝6，p＝3×3＋2×4＋6×5＋10×6＋4×7＋2×9＋3×1030＝6.1，∴m＝np.故选A.4．(2020·吉林东北师大附中第四次模拟考试)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则d＝()A.12B．14C．4D．2答案D解析∵数列{an}为等差数列，S4＝0，a5＝5，设数列{an}的公差为d，∴S4＝4a1＋4×32·d＝0，a5＝a1＋4d＝5，解得a1＝－3，d＝2.故选D.5．(2020·天津高考)函数y＝4xx2＋1的图象大致为()答案A解析因为f(－x)＝－4xx2＋1＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，排除C，D；当x＝1时，y＝41＋1＝2＞0，排除B.故选A.6．(2020·陕西咸阳第二次高考模拟)已知0ab1，则下列不等式不成立的是()A.12a12bB．lnalnbC.1a1bD．1lna1lnb答案B解析依题意0ab1，由于y＝12x为定义域上的减函数，故12a12b，故A正确．由于y＝lnx为定义域上的增函数，故lnalnb0，则1lna1lnb，所以B错误，D正确．由于0ab1，故1a1b，所以C正确．故选B.7．(2020·山东济宁嘉祥县萌山高级中学五模)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸．若盆中积水深9寸，则平均降雨量是(注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸；③台体的体积V＝13(S上＋S下＋S上S下)h)()A．3寸B．4寸C．5寸D．6寸答案A解析作出圆台的轴截面如图所示，由题意知，BF＝14寸，OC＝6寸，OF＝18寸，OG＝9寸，即G是OF的中点，∴GE为梯形OCBF的中位线，∴GE＝14＋62＝10寸，即积水的上底面半径为10寸，∴盆中积水的体积为13π×(100＋36＋10×6)×9＝588π(立方寸)，又盆口的面积为142π＝196π(平方寸)，∴平均降雨量是588π196π＝3寸，即平均降雨量是3寸，故选A.8．已知曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，A是曲线C1与C2的交点，且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝72，|AF2|＝52，则|F1F2|＝()A.3B．6C．2D．4答案C解析如图，由题意知抛物线的准线l过点F1，过A作AB⊥l于点B，作F2C⊥AB于点C，由抛物线的定义可知，|AB|＝|AF2|＝52，所以|F2C|＝|F1B|＝|AF1|2－|AB|2＝|AF1|2－|AF2|2＝6，则|AC|＝|AF2|2－|F2C|2＝254－6＝12，所以|F1F2|＝|BC|＝|AB|－|AC|＝2.故选C.二、多项选择题9．(2020·山东潍坊6月模拟)设复数z＝－12＋32i，则以下结论正确的是()A．z2≥0B．z2＝z－C．z3＝1D．z2020＝z答案BCD解析∵z＝－12＋32i，∴z2＝－12＋32i2＝14－32i－34＝－12－32i＝z－，z3＝z·z2＝－12＋32i·－12－32i＝14－34i2＝1，∴zn＋3＝zn(n∈N*)，则z2020＝z3×673＋1＝z，所以A错误，B，C，D正确．故选BCD.10.(2020·山东日照二模)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则()A．A，M，N，B四点共面B．平面ADM⊥平面CDD1C1C．直线BN与B1M所成的角为60°D．BN∥平面ADM答案BC解析如图所示，对于A，直线AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，故A错误；对于B，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；对于C，取CD的中点O，连接BO，ON，可得BO∥B1M，∠OBN为直线BN与B1M所成的角，可知△BON为等边三角形，故C正确；对于D，因为BN∥平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误．故选BC.11．(2020·山东济南高三上学期期末)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sinx＋12sin2x，则下列结论正确的是()A．2π是f(x)的一个周期B．f(x)在[0,2π]上有3个零点C．f(x)的最大值为334D．f(x)在0，π2上是增函数答案ABC解析因为f(x)＝sinx＋12sin2x.对于A，y＝sinx的周期是2π，y＝12sin2x的周期是2π2＝π，所以f(x)＝sinx＋12sin2x的周期是2π，故A正确；对于B，当f(x)＝sinx＋12sin2x＝0，x∈[0,2π]时，sinx＋sinxcosx＝0，sinx(1＋cosx)＝0，sinx＝0或1＋cosx＝0，解得x＝0或x＝π或x＝2π，所以f(x)在[0,2π]上有3个零点，故B正确；对于C，f(x)＝sinx＋12sin2x的最大值在0，π2上取得，f′(x)＝cosx＋cos2x－sin2x＝2cos2x＋cosx－1.令f′(x)＝0，求得cosx＝12或cosx＝－1，当x∈0，π3时，12cosx1，此时f′(x)0，则f(x)单调递增；当x∈π3，π2时，0cosx12，此时f′(x)0，则f(x)单调递减，则当x＝π3时，f(x)取得最大值，为32＋12×32＝334，故C正确；对于D，由选项C得f′(x)＝2cos2x＋cosx－1，要求增区间，则f′(x)＞0，即cosx＜－1(不成立)，或12＜cosx≤1，所以－π3＋2kπx＜π3＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)在0，π2上是增函数是错误的，故D错误．故选ABC.12．(2020·山东烟台高三适应性训练一)已知F1(－3，0)，F2(3，0)是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点，A为左顶点，O为坐标原点，P是C右支上一点，满足(F2P→＋F2A→)·(F2P→－F2A→)＝0，|F2P→＋F2A→|＝|F2P→－F2A→|，则()A．C的方程为43x2－49y2＝1B．C的渐近线方程为y＝±3xC．过F1作斜率为33的直线与C的渐近线交于M，N两点，则△OMN的面积为38D．若点Q是F2关于C的渐近线的对称点，则△QOF1为正三角形答案ABD解析由(F2P→＋F2A→)·(F2P→－F2A→)＝0，可得F2P→2＝F2A→2，即|F2A→|＝|F2P→|，由|F2P→＋F2A→|＝|F2P→－F2A→|，可得F2A→⊥F2P→，将x＝c＝3代入双曲线的方程可得|y|＝b2a，由题意可得b2a＝a＋c，c＝3，c2＝a2＋b2，解得a2＝34，b2＝94，所以双曲线的方程为43x2－49y2＝1，渐近线的方程为y＝±bax＝±3x，所以A，B正确；过F1作斜率为33的直线，则直线MN的方程为x＝3y－3，由x＝3y－3，y＝3x，解得x＝32，y＝32，即M32，32，由x＝3y－3，y＝－3x，解得x＝－34，y＝34，即N－34，34，所以|MN|＝32＋342＋32－342＝32，O到直线MN的距离为d＝332＋12＝32，所以S△MNO＝12|MN|·d＝12×32×32＝338，所以C不正确；渐近线方程为y＝3x，设F2(3，0)关于渐近线的对称点Q的坐标为(m，n)，则n2＝3·3＋m2，nm－3＝－33，解得m＝－32，n＝32，即Q－32，32，所以|OQ|＝－322＋322＝3，|OF1|＝3，|QF1|＝－32＋32＋322＝3，所以△QOF1为正三角形，所以D正确．故选ABD.三、填空题13．已知|a|＝2，|b|＝3，向量a与b的夹角为2π3，且a＋b＋c＝0，则|c|＝________.答案7解析由a＋b＋c＝0，得－c＝a＋b，所以|－c|＝|a＋b|，即c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＋2|a||b|·cos2π3＝4＋9＋2×2×3×－12＝7，所以|c|＝7.14．已知x2－ixn的展开式中第五项与第七项的系数之和为0，其中i是虚数单位，则展开式中的常数项为________．答案45解析x2－ixn的展开式的通项Tr＋1＝Crn(x2)n－r·－ixr＝Crn(－i)rx2n－5r2.由题意得C4n(－i)4＋C6n(－i)6＝0，解得n＝10.在Tr＋1＝Cr10(－i)rx20－5r2中，令20－5r2＝0，则r＝8，所以展开式中的常数项为T9＝C810(－i)8＝45.15．(2020·山东嘉祥县第一中学考前训练二)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB＋2bcosA＝0，则tanAtanB＝________，tanC的最大值是________．答案－224解析∵acosB＋2bcosA＝0，∴sinAcosB＋2sinBcosA＝0，∴sinAcosB＝－2sinBcosA，∴tanA＝－2tanB，∴tanAtanB＝－2，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanAtanB＝12tanB＋1tanB，由于求tanC的最大值，只需考虑tanB0的情况，∴tanC＝12tanB＋1tanB≤122＝24，等号成立当且仅当2tanB＝1tanB.即tanC的最大值是24.16．(2020·海南中学高三第七次月考)设函数f(x)的定义域为R，若存在常数ω0，使|f(x)|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f(x)＝4x；②f(x)＝x2＋2；③f(x)＝2xx2－2x＋5；④f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有f(x1)－f(x2)≤4|x1－x2|.其中是“条件约束函数”的序号是________(写出符合条件的全部序号)．答案①③④解析对于①，取ω＝4即可；对于②，因为x→0时，|fxx|→∞，所以不存在ω0，使|f(x)|≤ω|x|对一切实数x均成立；对于③，因为|f(x)|＝2|x|x2－2x＋5＝2|x|x－12＋4≤12|x|，取