2019年北京卷理科数学高考试题

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数z=2+i，则zz（A）3（B）5（C）3（D）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1（B）2（C）3（D）4（3）已知直线l的参数方程为13,24xtyt（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（A）15（B）25（C）45（D）65（4）已知椭圆2222 1xyab（a＞b＞0）的离心率为12，则（A）a2=2b2（B）3a2=4b2（C）a=2b（D）3a=4b（5）若x，y满足|1|xy，且y≥−1，则3x+y的最大值为（A）−7（B）1（C）5（D）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg21EE，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10−10.1（7）设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“||||ABACBC”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：221||xyxy就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（A）①（B）②（C）①②（D）①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．（10）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．（12）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．（13）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=12．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．（16）（本小题14分）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．（17）（本小题13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．（18）（本小题14分）已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．（19）（本小题13分）已知函数321()4fxxxx．（Ⅰ）求曲线()yfx的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x时，求证：6()xfxx；（Ⅲ）设()|()()|()FxfxxaaR，记()Fx在区间[2,4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．（20）（本小题13分）已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1i2…im），若12miiiaaa，则称新数列12miiiaaa，，，为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为0ma，长度为q的递增子列的末项的最小值为0na．若pq，求证：0ma0na；（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D（2）B（3）D（4）B（5）C（6）A（7）C（8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）π2（10）010（11）40（12）若lm，l，则m∥.（答案不唯一）（13）1(,0]（14）13015三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理2222cosbacacB，得22213232bcc.因为2bc，所以2221(2)3232ccc.解得5c.所以7b.（Ⅱ）由1cos2B得3sin2B.由正弦定理得53sinsin14cCBb.在ABC△中，∠B是钝角，所以∠C为锐角.所以211cos1sin14CC.所以43sin()sincoscossin7BCBCBC.（16）（共14分）解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．（Ⅱ）过A作AD的垂线交BC于点M．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）．所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AEPCAP．所以1222224,,,,,3333333PFPCAFAPPF.设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则0,0,AEAFnn即0,2240.333yzxyz令z=1，则1,1yx．于是=(1,1,1)n．又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以3cos,||3‖npnpnp.由题知，二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为33．（Ⅲ）直线AG在平面AEF内．因为点G在PB上，且2,(2,1,2)3PGPBPB，所以2424422,,,,,3333333PGPBAGAPPG.由（Ⅱ）知，平面AEF的法向量=(1,1,1)n.所以4220333AGn.所以直线AG在平面AEF内.（17）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为400.4100.（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知，事件C，D相互独立，且93141()0.4,()0.63025PCPD.所以(2)()()()0.24PXPCDPCPD，(1)()PXPCDCD()()()()PCPDPCPD=0.4×（1−0.6）+（1−0.4）×0.6=0.52，(0)()()()0.24PXPCDPCPD.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E（X）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C4060PE.答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.（18）（共14分）解：（Ⅰ）由抛物线2:2Cxpy经过点(2,1)，得2p.所以抛物线C的方程为24xy，其准线方程为1y.（Ⅱ）抛物线C的焦点为(0,1)F.设直线l的方程为1(0)ykxk.由21,4ykxxy得2440xkx.设1122,,,MxyNxy，则124xx.直线OM的方程为11yyxx.令1y，得点A的横坐标11Axxy.同理得点B的横坐标22Bxxy.设点(0,)Dn，则1212,1,,1xxDAnDBnyy，21212(1)xxDADBnyy2122212(1)44xxnxx21216(1)nxx24(1)n.令0DADB，即24(1)0n，则1n或3n.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,3).（19）（共13分）解：（Ⅰ）由321()4fxxxx得23()214fxxx.令()1fx，即232