2019年全国II卷文科数学高考试题

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2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合={|1}Axx,{|2}Bxx,则A∩B=A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.2.设z=i(2+i),则z=A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i3.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=A.2B.2C.52D.504.生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为A.23B.35C.25D.155.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e1x,则当x0时,f(x)=A.e1xB.e1xC.e1xD.e1x7.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面8.若x1=4,x2=4是函数f(x)=sinx(0)两个相邻的极值点,则=A.2B.32C.1D.129.若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆2213xypp的一个焦点,则p=A.2B.3C.4D.810.曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为A.10xyB.2210xyC.2210xyD.10xy11.已知a∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=A.15B.55C.33D.25512.设F为双曲线C:22221xyab(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为A.2B.3C.2D.5二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若变量x,y满足约束条件23603020xyxyy,,,则z=3x–y的最大值是___________.14.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.15.ABC△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=___________.16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥11EBBCC的体积.18.(12分)已知{}na是各项均为正数的等比数列,1322,216aaa.(1)求{}na的通项公式;(2)设2lognnba,求数列{}nb的前n项和.19.(12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组[0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附:748.602.20.(12分)已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.(1)若2POF△为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得12PFPF,且12FPF△的面积等于16,求b的值和a的取值范围.21.(12分)已知函数()(1)ln1fxxxx.证明:(1)()fx存在唯一的极值点;(2)()=0fx有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在极坐标系中,O为极点,点000(,)(0)M在曲线:4sinC上,直线l过点(4,0)A且与OM垂直,垂足为P.(1)当0=3时,求0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知()|||2|().fxxaxxxa(1)当1a时,求不等式()0fx的解集;(2)若(,1)x时,()0fx,求a的取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学·参考答案1.C2.D3.A4.B5.A6.D7.B8.A9.D10.C11.B12.A13.914.0.9815.3π416.26;2117.解:(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故11BCBE.又1BEEC,所以BE⊥平面11EBC.(2)由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以1145AEBAEB,故AE=AB=3,126AAAE.作1EFBB,垂足为F,则EF⊥平面11BBCC,且3EFAB.所以,四棱锥11EBBCC的体积1363183V.18.解:(1)设na的公比为q,由题设得22416qq,即2280qq.解得2q(舍去)或q=4.因此na的通项公式为121242nnna.(2)由(1)得2(21)log221nbnn,因此数列nb的前n项和为21321nn.19.解:(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100.产值负增长的企业频率为20.02100.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y,52211100iiisnyy222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100=0.0296,0.02960.02740.17s,所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.20.解:(1)连结1PF,由2POF△为等边三角形可知在12FPF△中,1290FPF,2PFc,13PFc,于是122(31)aPFPFc,故C的离心率是31cea.(2)由题意可知,满足条件的点(,)Pxy存在.当且仅当1||2162yc,1yyxcxc,22221xyab,即||16cy,①222xyc,②22221xyab,③由②③及222abc得422byc,又由①知22216yc,故4b.由②③得22222axcbc,所以22cb,从而2222232,abcb故42a.当4b,42a时,存在满足条件的点P.所以4b,a的取值范围为[42,).21.解:(1)()fx的定义域为(0,+).11()ln1lnxfxxxxx.因为lnyx单调递增,1yx单调递减,所以()fx单调递增,又(1)10f,1ln41(2)ln2022f,故存在唯一0(1,2)x,使得00fx.又当0xx时,()0fx,()fx单调递减;当0xx时,()0fx,()fx单调递增.因此,()fx存在唯一的极值点.(2)由(1)知0(1)2fxf,又22ee30f,所以()0fx在0,x内存在唯一根x.由01x得011x.又1111()1ln10ff,故1是()0fx在00,x的唯一根.综上,()0fx有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.22.解:(1)因为00,M在C上,当03时,04sin233.由已知得||||cos23OPOA.设(,)Q为l上除P的任意一点.在RtOPQ△中,cos||23OP,经检验,点(2,)3P在曲线cos23上.所以,l的极坐标方程为cos23.(2)设(,)P,在RtOAP△中,||||cos4cos,OPOA即4cos.因为P在线段OM上,且APOM,故的取值范围是,42.所以,P点轨迹的极坐标方程为4cos,,42.23.解:(1)当a=1时,()=|1|+|2|(1)fxxxxx.当1x时,2()2(1)0fxx;当1x时,()0fx.所以,不等式()0fx的解集为(,1).(2)因为()=0fa,所以1a.当1a,(,1)x时,()=()+(2)()=2()(1)0fxaxxxxaaxx.所以,a的取值范围是[1,).

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