2020年北京卷理科数学高考试卷真题及答案解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合1,0,1,2,03ABxx，则ABA.1,0,1B.0,1C.1,1,2D.1,22．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2），则iz=A.12iB.2iC.12iD.2i3．在52x的展开式中，2x的系数为A.-5B.5C.-10D.104．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为A.63B.623C.123D.12235．已知半径为1的圆经过点3,4，则其圆心到原点的距离的最小值为(A)4(B)5(C)6(D)76．已知函数21xfxx，则不等式()0fx的解集是(A)1,1(B),11,+(C)0,1(D),01,+7．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线(A)经过点O(B)经过点P(C)平行于直线OP(D)垂直于直线OP8．在等差数列na中，1a=-9，5a=-1，记121,2,nnTaaan……,则数列nT（A）有最大项，有最小项（B）有最大项，无最小项（C）无最大项，有最小项（D）无最大项，无最小项9．已知R，，则“存在kZ使得=1kk”是“sin=sin”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）.历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值，按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（A）30303sintannnn（）（B）30306sintannnn（）（C）60603sintannnn（）（D）60606sintannnn（）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．函数1()1fxInxx的定义域是_________.12．已知双曲线22:163xyC，则C的右焦点的坐标为_________:C的焦点到其渐近线的距离是_________.13．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足1()2APABAC，则PD=_________；PBPD=_________.14．若函数()sin()cosfxxx的最大值为2，则常数的一个取值为_________.15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为()Wft，用()()fbfaba的大小评价在[,]ab这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在12[,]tt这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在1[0,]t,12[,]tt,23[,]tt这三段时间中，在1[0,]t的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。综合题分割16．(本小题13分)如图，在正方体1111ABCDABCD中，E为1BB的中点，(Ⅰ)求证:1BC平面1ADE；(Ⅱ)求直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值。综合题分割17．(本小题13分)在ABC中，11ab,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求:(I)a的值；(II)sinC和ABC的面积.条件①:7c,17cosA;条件②:18cosA，9os16cB。注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。综合题分割18.（本小题14分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为0p。假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p，试比较0p与1p的大小。（结论不要求证明）综合题分割19．（本小题15分）已知函数2()12fxx。（Ⅰ）求曲线()yfx的斜率等于-2的切线方程；（Ⅱ）设曲线()yfx在点(,())tft处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()St，求()St的最小值.综合题分割20．（本小题15分）已知椭圆2222:1xyCab过点(2,1)A，且2ab。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点(4,0)B的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线4x于点P，Q.求||||PBBQ的值.综合题分割21.（本小题15分）已知{}na是无穷数列，给出两个性质：①对于{}na中任意两项,()ijaaij＞，在{}na中都存在一项ma，使得2imjaaa；②对于{}na中任意一项(3)nan，在{}na中都存在两项,()klaakl＞，使得2knlaaa.（Ⅰ）若(1,2,...)nann，判断数列{}na是否满足性质①，说明理由；（Ⅱ）若12(1,2,...)nnan，判断数列{}na是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（Ⅲ）若{}na是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}na为等比数列.