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2015-2016学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷一、选择题1．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20B．2、6、10、14C．2、4、6、8D．5、8、11、142．圆x2+y2﹣8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是（）A．相交B．内切C．相离D．外切3．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2D．4．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300B．150C．30D．155．若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．6．过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20C．（x+2）2+（y+1）2=5D．（x+4）2+（y+2）2=207．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．8．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3B．i＜4C．i＜5D．i＜69．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．10．已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±2二、填空题11．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=．（结果用最简分数表示）12．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为．13．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径的长度是．14．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为多少．15．对任意非零实数a、b，若a⊙b的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是．三、解答题16．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x﹣y﹣3=0上的圆的方程．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．18．甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：月份x12345甲的纯收入y2.93.33.64.44.8乙的纯收入z2.83.43.84.55.5（1）由表中数据直观分析，甲、乙两人中谁的纯收入较稳定？（2）求y关于x的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率．19．已知圆x2+y2﹣x﹣6y+m=0与直线2x+y﹣3=0交于M、N两点，O为坐标原点，文是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．21．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．2015-2016学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20B．2、6、10、14C．2、4、6、8D．5、8、11、14【考点】系统抽样方法．【分析】系统抽样，要求编号后，平均分租，每一组只抽一个样本，两个相邻的样本的编号间距相等【解答】解：从20人中用系统抽样抽4个人，须把20人平均分成4组，每一组只抽1人，且所抽取的号码成等差数列只有A选项满足故选A2．圆x2+y2﹣8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是（）A．相交B．内切C．相离D．外切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把第一个圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r，再由第二个圆的方程找出圆心B的坐标和半径R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，发现d=R﹣r，从而判断出两圆位置关系是内切【解答】解：把圆x2+y2﹣8x+6y+16=0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y+3）2=9，∴圆心A的坐标为（4，﹣3），半径r=3，由圆x2+y2=64，得到圆心B坐标为（0，0），半径R=8，两圆心间的距离d=|AB|=5，∵8﹣3=5，即d=R﹣r，则两圆的位置关系是内切．故选：B．3．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2D．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据已知中数据，代入平均数公式，计算出a值，进而代入标准差计算公式，可得答案．【解答】解：∵样本a，0，1，2，3的平均值为1，∴=1解得a=﹣1则样本的标准差s==故选D4．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300B．150C．30D．15【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【分析】根据频率分布直方图得出该校学生优秀等级的频率，即可求出该校学生优秀等级的人数是多少．【解答】解：根据频率分布直方图得，该校学生优秀等级的频率是0.015×=0.15；∴该校学生优秀等级的人数是1000×0.15=150．故选：B．5．若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有一个白球的概率．【解答】解：∵一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，∴基本事件总数=21，∵取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，∴取出的两球中至少有一个白球的概率为：p=1﹣=．故选：C．6．过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20C．（x+2）2+（y+1）2=5D．（x+4）2+（y+2）2=20【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．【解答】解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，∵OP的中点为（2，1），OP=2，∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，∴△AOB外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：A7．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】所有的取法有C92=36种，两数积是完全平方数的取法只有4种，故两数积是完全平方数的概率为．【解答】解：所有的取法有C92=36种，当取出的两个数是1和4，1和9，2和8，4和9时，两数积是完全平方数．故两数积是完全平方数的概率为=，故选A．8．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3B．i＜4C．i＜5D．i＜6【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量i的值到S并输出S，根据流程图所示，将程序运行过程中各变量的值列表如下：【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环Si循环前/21第一圈是13第二圈是﹣25第三圈是﹣77第四圈否所以判断框内可填写“i＜6”，故选D．9．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．【考点】几何概型．【分析】求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．【解答】解：三角形ABC的面积为，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S=，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1﹣，故选：B10．已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±2【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小，切线长为2，∴PA=PB=2．∴圆心到直线l的距离为d=，直线方程为y+4=kx，即kx﹣y﹣4=0，∴=，解得k=±2．则所求直线的斜率为：±2．故选：D．二、填空题11．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=．（结果用最简分数表示）【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，分别求两个事件的概率是我们熟悉的古典概型，这两个事件是不能同时发生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，∵事件A为“抽得红桃K”，∴事件A的概率P=，∵事件B为“抽得为黑桃”，∴事件B的概率是P=，∴由互斥事件概率公式P（A∪B）=．故答案为：．12．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为x+2y﹣1=0．【考点】圆与圆的位置