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2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县高一（下）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．﹣20是数列{（﹣1）n+1n（n+1）}的第项．2．函数y=sinxcosx的最小正周期是．3．若sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=，则sinβ=．4．已知{an}是等差数列，a5=8，a9=24，则a4=．5．不等式x2﹣5x﹣14＜0的解集为．6．已知tanθ=2，则=．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=2，S△ABC=2，则a=．8．不等式的解集为{x|x＜b或x＞3}，那么a﹣b的值等于．9．在等比数列{an}中，已知第1项到第10项的和为9，第11项到第20项的和为36，则前40项的和为．10．在△ABC中，已知tanA+tanB+tanAtanB=1，若△ABC最大边的长为，则其外接圆的半径为．11．已知数列{an}满足a1=3，且an=an﹣1+n+2n（n∈N*），则{an}的前n项的和为．12．在求函数y=x2+的最小值时，某同学的做法如下：由基本不等式得y=x2+﹣a=2﹣a．因此函数y=x2+的最小值为2﹣a．若该同学的解法正确，则a的取值范围是．13．已知x＞0，y＞0，且x=4xy﹣2y，则3x+2y的最小值为．14．已知数列{an}中，a1=1，a2=3，且对任意n∈N+，a，an+1≥2an+1恒成立，则an=．二、解答题（共6小题，满分90分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（a+b+c）（a﹣b﹣c）+3bc=0．（1）求角A的大小；（2）若a=2ccosB，试判断△ABC的形状．16．设数列{an}的所有项都是正数，前n项和为Sn，已知点Pn（an，Sn）（n∈N+）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）已知a1+a6=66，a2a5=128，求b的值．17．已知α∈（0，），且sin（）=（1）求cosα的值；（2）求sin（2α﹣）的值．18．A，B两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得CA=10km，CB=10km，∠CBA=60°．（1）求A，B两地之间的距离；（2）若点C在移动过程中，始终保持∠ACB=60°不变，问当∠CAB何值时，△ABC的面积最大？并求出面积的最大值．19．直角三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且c为斜边的长．（1）若a，b，c成等比数列，且a=2，求c的值；（2）已知a，b，c均为正整数．（i）若a，b，c是三个连续的整数，求三角形ABC的面积；（ii）若a，b，c成等差数列，将这些三角形的面积从小到大排成一列，记第n个为Sn，且Tn=﹣S，求满足不等式|Tn|＞3•2n的所有n的值．20．函数f（x）=x2+ax+b，其中a∈R，b∈R且（b+4）2﹣a2=4，已知对任意的x∈R不等式f（x）≥﹣2恒成立．（1）求实数a，b的值；（2）若函数g（x）=，求g（x）的值域；（3）是否存在实数m，n使得不等式m≤f（x）≤n的解集为[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．﹣20是数列{（﹣1）n+1n（n+1）}的第4项．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】令（﹣1）n+1n（n+1）=﹣20，解出即可得出．【解答】解：令（﹣1）n+1n（n+1）=﹣20，解得n=4，故答案为：4．2．函数y=sinxcosx的最小正周期是π．【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦．【分析】把函数y=sinxcosx化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】解：函数y=sinxcosx=sin2x，它的最小正周期是：=π．故答案为：π．3．若sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=，则sinβ=．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】直接利用两角差的正弦公式化简求得sinβ．【解答】解：由sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=，得sin[α﹣（α﹣β）]=，即sinβ=．故答案为：．4．已知{an}是等差数列，a5=8，a9=24，则a4=4．【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的定义与性质，求出公差d，即可求出a4的值．【解答】解：等差数列{an}中，a5=8，a9=24，∴a9﹣a5=4d=16，∴d=4，∴a4=a5﹣d=8﹣4=4．故答案为：4．5．不等式x2﹣5x﹣14＜0的解集为（﹣2，7）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣7）＜0，可得其对应方程的根，进而得出解集．【解答】解：不等式x2﹣5x﹣14＜0可化为：（x+2）（x﹣7）＜0，解得﹣2＜x＜7；所以该不等式的解集为（﹣2，7）．故答案为：（﹣2，7）．6．已知tanθ=2，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简所求，根据已知即可计算求值．【解答】解：∵tanθ=2，∴====．故答案为：．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=2，S△ABC=2，则a=2．【考点】正弦定理．【分析】利用S△ABC=bcsinA即可得出c，由余弦定理即可求a．【解答】解：在△ABC中，∵A=60°，b=2，S△ABC=2，∴2=bcsinA=，解得c=4．∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4+16﹣2×=12，∴解得：a=2故答案为：2．8．不等式的解集为{x|x＜b或x＞3}，那么a﹣b的值等于﹣．【考点】其他不等式的解法．【分析】依题意，知3是方程=1的解，从而可得a的值，解不等式求出b的值，求出a﹣b的值即可．【解答】解：依题意得3是方程=1的解，∴3a=3﹣1=2，∴a=，∴由＜1，解得：x＞3或x＜1，故b=1，故a﹣b=﹣1=﹣，故答案为：﹣．9．在等比数列{an}中，已知第1项到第10项的和为9，第11项到第20项的和为36，则前40项的和为360．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{an}的前n项和为Sn，则S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30仍然成等比数列．即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的前n项和为Sn，则S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30仍然成等比数列．即9，36﹣9，S30﹣36，S40﹣S30仍然成等比数列．∴272=9（S30﹣36），27（S40﹣S30）=，解得S30=117，S40=360．故答案为：360．10．在△ABC中，已知tanA+tanB+tanAtanB=1，若△ABC最大边的长为，则其外接圆的半径为．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用两角和的正切公式求得tan（A+B）=1，可得A+B的值，从而求得C的值，再利用正弦定理求出外接圆的半径．【解答】解：△ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1，∴tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanAtanB=1，∴tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=1﹣tanAtanB，∴tan（A+B）=1，∴A+B=45°，∴C=135°；∴△ABC最大边的长为c=，由正弦定理得，2R====2，∴其外接圆的半径为．故答案为：．11．已知数列{an}满足a1=3，且an=an﹣1+n+2n（n∈N*），则{an}的前n项的和为．【考点】数列的求和．【分析】先求出an，再利用累加求Tn．【解答】解：由an=an﹣1+n+2n（n∈N*），…，累加求得；前n项和为Tn=a1+a2+a3+…+an，==，故答案为：12．在求函数y=x2+的最小值时，某同学的做法如下：由基本不等式得y=x2+﹣a=2﹣a．因此函数y=x2+的最小值为2﹣a．若该同学的解法正确，则a的取值范围是（0，1]．【考点】基本不等式．【分析】由不等式求最值等号成立的条件求得a的取值范围．【解答】解：∵a＞0，∴y=x2+﹣a=2﹣a，当且仅当有实数解时上式等号成立，则x2+a=1有实数解，即x2=1﹣a有实数解，∴1﹣a≥0，即a≤1，又a＞0，∴a的取值范围是（0，1]．故答案为：（0，1]．13．已知x＞0，y＞0，且x=4xy﹣2y，则3x+2y的最小值为2+．【考点】基本不等式．【分析】变形已知式子可得+=4，整体代入可得3x+2y=（3x+2y）（+）=（8++），由基本不等式可得．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x=4xy﹣2y，∴x+2y=4xy，故=4，即+=4，∴3x+2y=（3x+2y）（+）=（8++）≥（8+2）=2+当且仅当=时取等号，结合+=4可解得x=且y=．故答案为：2+14．已知数列{an}中，a1=1，a2=3，且对任意n∈N+，a，an+1≥2an+1恒成立，则an=2n﹣1．【考点】数列递推式．【分析】由an+1≥2an+1恒成立，利用放缩法可得an≥2n﹣1；利用a可得an≤2n﹣1；从而求得．【解答】解：∵an+1≥2an+1恒成立，∴an+1+1≥2（an+1）恒成立，∴an+1≥2（an﹣1+1）≥4（an﹣2+1）≥…≥2n﹣1（a1+1），即an+1≥2n，故an≥2n﹣1；而an+2≥2an+1+1≥2（2an+1）+1=4an+3，而a，故4an+3≤an+3•2n，故an≤2n﹣1；故an=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．二、解答题（共6小题，满分90分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（a+b+c）（a﹣b﹣c）+3bc=0．（1）求角A的大小；（2）若a=2ccosB，试判断△ABC的形状．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）将（a+b+c）（a﹣b﹣c）+3bc=0化简，利用余弦定理求出cosA；（2）使用正弦定理得sinA=2sinCcosB，即sin（B+C）=2sinCcosB，化简得sin（B﹣C）=0，于是B=C．【解答】解：（1）在△ABC中，∵（a+b+c）（a﹣b﹣c）+3bc=0，∴a2﹣（b+c）2+3bc=0，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA=∴A=．（2）∵a=2ccosB，∴sinA=2cosBsinC，∴sin（B+C）=2cosBsinC，即sinBcosC﹣cosBinC=0，∴sin（B﹣C）=0，∴B﹣C=0，即B=C．又A=，故△ABC为正三角形．16．设数列{an}的所有项都是正数，前n项和为Sn，已知点Pn（an，Sn）（n∈N+）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）已知a1+a6=66，a2a5=128，求b的值．【考点】等比数列的通项公式；等比关系的确定．【分析】（1）由已知得Sn=kan+b，Sn+1=kan+1+b，从而（k﹣1）an+1=kan，由此能证明数列{an}是等比数列．（2）数列{an}的公比q=，由此推导出a1=2，a6=64，由此利用等比数列的性质能求出b．【解答】（本题满分14分）证明：（1）∵点Pn（an，Sn）（n∈N+）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数，∴Sn=kan+b，…又Sn+1=kan+1+b，∴Sn+1﹣Sn=k（an+1﹣an），即（k﹣1）an+1=kan，…∵常数k＞1，且an＞0，∴，（非零常数），…∴数列{an}是等比数列．…解：（2）由（1）得数列{an}的公比q=，∵a1+a6=66，a2a5=128=a1a6，∴a1＜a6，且a1，a6是方程x2﹣66x+128=0的两个根，解方程x2﹣66x+128=0，解a1=2，a6=64，…∴（）5=32=25，解得k=2，…又S1=ka1+b，∴2=2×2+b，解得b=﹣2．…17．已知α∈（0，），且sin（