第19届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

1第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷题号一二三四五六七总计全卷共七题，总分为140分。一、（20分）某甲设计了一个如图复19-1所示的“自动喷泉”装置，其中A、B、C为三个容器，D、E、F为三根细管。管栓K是关闭的。A、B、C及细管均盛有水，容器水面的高度差分别为h1和h2，如图所示。A、B、C的截面半径为12cm，D的半径为0.2cm.甲向同伴乙说：“我若拧开管栓K，会有水从细管口喷出。”乙认为不可能。理由是：“低处的水自动走向高处，能量从哪儿来？”甲当即拧开K，果然见到有水喷出，乙哑口无言，但不能明白自己的错误何在。甲又进一步演示。在拧开管栓K前，先将喷管D的上端加长到足够长，然后拧开K，管中水面即上升，最后水面静止于某个高度。1．论拧开K后水柱上升的原因。2．当D管上端足够长时，求拧开K后D中静止水面与A中水面的高度差。3．论证水柱上升所需的能量来源。得分地、市学校姓名性别现读年级准考证号二、（18分）在图复19-2中，半径为R的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直图面指向纸外，磁感强随时间均匀变化，变化率ΔB/Δt=K（K为一正值常数）。圆柱形区域外空间中没有磁场。沿图中AC弦的方向画一直线，并向外延长，弦AC与半径OA的夹角α=π/4。直线上有一任意点，设该点与A点的距离为x，求从A沿直线到该点的电动势大小。得分三、（18分）如图复19-3所示，在水平光滑的绝缘桌面上，有三个带正电的质点1、2、3，位于边长为L的等边三角形的三个顶点处，C为三角形的中心。三个质点的质量皆为m，带电量皆为q。质点1、3之间和2、3之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连，在3的连接处为无摩擦的铰链。已知开始时三个质点的速度为零，在此后运动过程中，当质点3运动到C处时，其速度为多少？四、（18分）有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数。在图复19-4-1中，E为可调的直流电源，K为电键，L为待测线圈的自感系数，rL为线圈的直流电阻，D为理想二极管，r为用电阻丝做成的电阻器，A为电流表。将图复19-4-1中a、b之间的电阻丝装进图复19-4-2中，其它装置见图下说明。其中注射器筒5和试管1组成的密闭容器内装有某种气体（可视为理想气体），通过活塞6的上下移动可调节毛细管8中有色液柱的初始位置，调节后将阀门10关闭，使两边气体隔开。毛细管8的内直径为d。得分得分已知在压强不变的条件下每摩尔试管中的气体温度升高1K时，需要吸收热量为CP，大气压强为p。设试管、三通管、注射器和毛细管皆为绝热的，电阻丝的热容不计。当接通电键K后，线圈L中将产生磁场，已知线圈中储存的磁场能量W=21LI2，I为通过线圈的电流，其值可通过电流表A测量。现利用此装置及合理的步骤测量线圈的自感系数L。1．简要写出此实验的步骤。2．用题中所给出的各已知量（r、rL、CP、p、d等）及直接测量的量导出L的表达式。五、（20分）薄凸透镜放在空气中，两侧焦点和透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为n1和n2，则透镜两侧仍各有一焦点（设为F1和F2），但F1、F2和透镜中心的距离不相等，其值分别为f1和f2。现有一薄透镜L，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质和折射率及焦点的位置如图复19-5所示。1．试求出此时物距u、像距v、焦距f1、f2四者之间的关系式。2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为θ1，则与之相应的出射线与主轴的夹角θ2为多大？3．f1、f2、n1、n2四者之间有何关系？得分六、（20分）在相对于实验室静止的平面直角坐标系S中，有一个光子，沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子。在y轴方向探测到一个散射光子。已知电子的静止质量为m0，光速为c，入射光子的能量有散射光子的能量之差等于电子静止能量的1/10。1．试求电子运动速度大小v；电子运动的方向与x轴的夹角θ；电子运动到离原点距离为L0（作为已知量）的A点所经历的时间Δt。2．在电子以1中的速度v开始运动时，一观察者S′相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动（即S′相对于电子静止），试求S′测出的OA的长度。得分七、（26分）一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计）。细杆与A在同一竖直平面内。开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图复19-7-1所示。已知：绳长为L，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大张力为Td，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断。求细绳被拉直时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）。注：质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度an，可以证明，an=v2/R，v为质点在该点的速度大小，R为轨道曲线在该点的“曲率半径”。所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧线，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径。如图复19-7-2中，曲线在A点的曲率半径为RA，在B点的曲率半径为RB。得分第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答一、参考解答实践证明，甲的设计是正确的，所以乙的结论肯定是错的。（1）设大气压为0p，水的密度为。拧开K前的情况如图复解19-l的（a）图所示。由流体静力学可知，B、C中气体的压强为012()BCpppghh（1）D中气体的压强为1DBppgh（2）由（1）、（2）两式可得20Dppgh即0Dpp，当拧开K后，D中气体压强降至0p，此时10Bppgh（3）即D管中容器B水面以上的那一段水柱所受合力向上，所以D管中水柱上升。（2）拧开K后，水柱上升，因D管上端已足够长，故水不会从管口喷出．设到D中的水面静止时D中增加水量的体积为V，则B中减少水量的体积亦为V，其水面将略有降低，因而B及C中气体压强路有下降，A中的水将通过E管流入C中，当从A流入水量的体积等于V时，B、C中气体压强恢复原值。因为A、B、C的半径为D管半径的60倍，截面积比为3600倍，故A、B、C中少量水的增减（V）引起的A、B、C中水面高度的变化可忽略不计，即1h和2h的数值保持不变。设D中水面静止时与A中水面的高度差为H，（见图复解19-1（b）），则有01201()()pghhpgHh（4）由此可得2Hh（5）（3）将图复解19-l（a）和(b)两图相比较可知，其差别在于体积为V的水从A移至C中，另V的水又由B移入D中，前者重力势能减少，而后者重力势能增大，前者的重力势能减少量为112()EgVhh（6）D中增加的水柱的重心离A中水面的高度为2/2h，故后者的重力势能增量为2002年KKDHAABBFCCEh1h2(a)(b)图复解19-12121()2EgVhh（7）即12EE。由此可知，体积为V的水由A流入C中减少的势能的一部分转化为同体积的水由B进入D中所需的势能，其余部分则转化为水柱的动能，故发生上下振动，D中水面静止处为平衡点．由于水与管间有摩擦等原因，动能逐步消耗，最后水面停留在距A中水面2h处。二、参考解答由于圆柱形区域内存在变化磁场，在圆柱形区域内外空间中将产生涡旋电场，电场线为圆，圆心在圆柱轴线上，圆面与轴线垂直，如图中虚点线所示．在这样的电场中，沿任意半径方向移动电荷时，由于电场力与移动方向垂直，涡旋电场力做功为零，因此沿半径方向任意一段路径上的电动势均为零．1．任意点在磁场区域内：令P为任意点（见图复解19-2-1）2xR，在图中连直线OA与OP。取闭合回路APOA，可得回路电动势1APPOOAEEEE，式中APE，POE，OAE分别为从A到P、从P到O、从O到A的电动势。由前面的分析可知0POE，0OAE，故1APEE（1）令AOP的面积为1S，此面积上磁通量11BS，由电磁感应定律，回路的电动势大小为111BEStt根据题给的条件有11ESk（2）由图复解19-2-2可知11sin222xRSxR（3）由（1）、（2）、（3）式可得沿AP线段的电动势大小为22APkREx（4）ACCAOORRPxDQ图复解19-2－1图复解19-2－22．任意点在磁场区域外：令Q为任意点（见图复解19-2-2），2xR。在图中连OA、OQ。取闭合回路AQOA，设回路中电动势为2E，根据类似上面的讨论有2AQEE（5）对于回路AQOA，回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量，此面积为2S，通过它的磁通量22BS。根据电磁感应定律可知回路中电动势的大小22ESk（6）在图中连OC，令COQ，则OQC，于是2221(sin)2cos221(sin2)2SAOCOCDRRRR的面积扇形的面积当/4时，221(1)2SR，OCQ中有2sinsin[(/4)]xRRsin(2)sin()41(2)(cossin)2RxRxR22()sincos22xRxRR2tanxRx于是得2212(1arctan)2xRSRx（7）由（5）、（6）、（7）式可得沿AQ线的电动势的大小为22(1arctan)2AQkRxREx（8）三、参考解答以三个质点为系统，由对称性可知，开始时其质心应位于C处，因为质点系所受的合外力为零，由质心运动定理可知，质心总是固定不动的。质点1、2在静电力作用下，彼此间距离必增大，但不可能保持在沿起始状态时1、2连线上运动，若是那样运动，由于杆不能伸长，质点3必向左运动，三者的质心势必亦向左运动，这与“质心不动”相矛盾，故不可能。由此可知，由于杆为刚性，质点1、2在静电力作用下，要保持质心不动，质点1、2必将分别向题图中右上方和右下方运动，而质点3将向左运动．当3运动到C处时，1、2将运动到A、B处，A、B、C三点在一直线上，1、2的速度方向向右，3的速度方向左（如图复解19-3所示）。令1v、2v、3v分别表示此时它们的速度大小，则由对称性可知此时三质点的总动能为223111222()KEmvmv（1）再由对称性及动量守恒可知312mvmv（2）系统原来的电势能为23PqEkl（3）其中k为静电力常数．运动到国复解19-3所示的位置时的电势能为2222PqqEkkll（4）根据能量守恒有PPKEEE（5）由以上各式可解得2323kqvlm（6）四、参考解答1.（1）调整活塞6使毛细管8中有色液柱处于适当位置，将阀门10关闭使两边气体隔绝，记下有色液柱的位置；（2）合上开关S，测得电流I；（3）打开开关S；（4）测出有色液体右移的最远距离x；（5）改变电源电压，重复测量多次，记下多次的I和x值。2.合上开关S后，线捆贮有磁场能量212WLI，因二极管D的存在，r中无电流。打开开关S后，由于L中有感应电动势，在线圈L、电阻器ab和二极管D组成的回路中有电流通过，最后变为零。在此过程中原来线圈中储存的磁场能量将转化为r和Lr上放出的热量，其中r上放ABC123图复解19-3出的热量为212LrQLIrr（1）此热量使试管中的气体加热、升温。因为是等压过程，所以气体吸热为pmQCT（2）式中m为气体质量，为其摩尔质量，T为温升，因为是等压过程，设气体体积改变量为V，则由理想气体状态方程可得mpVRT（3）而24dVx（4）由以上各式可得222LpCpdrrxLrRI（5）五、参考解答利用焦点的性质，用作图法可求得小物PQ的像PQ，如下图所示。（1）用y和y分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得1212uffyyfvf（1）1212()()ufvfff简化后即得物像距公式，即u，v，1f，2f之间的关系式121ffu