高中数学竞赛专题讲座——三角函数与向量

高中数学竞赛专题讲座——三角函数与向量一、三角函数部分1．(集训试题)在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且AC，ABsinsin都是方程logbx=logb(4x-4)的根，则△ABC（B）A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形解：由logbx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=41，而sinA0，∴sinA=21.因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。2．（2006吉林预赛）已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（C）A．x=π/3B．x=2π/3C．x=11π/6D．x=π3．2006年南昌市）若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不确定4．（2006年南昌市）若sintana,coscotb,则以下诸式中错误的是(B)A．sin=11babB．cos11aabC．tancot=)1)(1(21)1(2baabbaD．tancot=)1)(1()2)((bababa5．（2006安徽初赛）已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，∠DCE=45°，则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是（）A．锐角B．钝角C．直角D．不能确定6．（2006陕西赛区预赛）若33sincoscossin,02，则角的取值范围是(C)A．[0,]4B．[,]4C．5[,]44D．3[,)427．（2006年江苏）在△ABC中，1tan2A，310cos10B．若△ABC的最长边为1，则最短边的长为（D）A．455B．355C．255D．558．(2005年浙江)设2)(1xf，xxxf2cossin)(2，xxxf2cos2sin)(3，24sin)(xxf，上述函数中，周期函数的个数是（B）A．1B．2C．3D．4【解】：2)(1xf是以任何正实数为周期的周期函数；)(2xf不是周期函数。因为xsin是以21T为周期的周期函数,x2cos是以222T为周期的周期函数,而1T与2T之比不是有理数，故)(2xf不是周期函数。)(3xf不是周期函数。因为2sinx是以221T为周期的周期函数,x2cos是以222T为周期的周期函数,而221TT，故)(3xf是周期函数.24sin)(xxf不是周期函数.因此共有2个周期函数.选【B】9．(2005年浙江)若1sinsinyx，则yxcoscos的取值范围是（）A．]2,2[B．]1,1[C．]3,0[D．]3,3[【解】：设tyxcoscos，222coscoscos2costyyxx。又由1sinsinyx，故1sinsinsin2sin22yyxx。因此有1)sinsincos(cos22tyxyx，即1)cos(22tyx由于1)cos(1yx，所以有32t，即33t。选【D】10．(2005全国)ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于1A、1B、1C。则CBACCCBBBAAAsinsinsin2cos2cos2cos111的值为（）A．2B．4C．6D．8解：如图，连1BA，则12sin()2sin()2222AABCBCAAB2cos().22BC111111cos2cos()coscoscoscos()cos()22222222sinsin,cossinsin,cossinsin,cos2222(sinsinsin)coscos2(sinsinsin),22sinsinsinABCAABCACBAACBBCACBBBACCCABAABBBCABCCCABCABC同理原式2..A选11（2006陕西赛区预赛）已知为锐角，且cos31cos3，则sin3sin7/312（2004年浙江省预赛）设,,,),,2,1(RniRai且，0则对任意Rx，nixixixixixixiaaaaaa1)()()(111111n.解：xixixixixixiaaaaaa)()()(11111111111)()()()(xixixixixixixixiaaaaaaaa，所以，.1111111)()()(naaaaaanixixixixixixi13（2006年浙江省预赛）设ba,是非零实数，Rx，若，2224241cossinbabxax则2006200820062008cossinbxax100322)(1ba解：已知，2224241cossinbabxax………………（1）将（1）改写成xbaxabxx42242244cossincossin1.而xxxxxx2244222cossin2cossin)cos(sin1.所以有0coscossin2sin42222422xbaxxxab.即0cossin222xbaxab,也即，4444cossinbxax将该值记为C。则由（1）知，22221baCbCa。于是有，222)(1baC.而10032210042222502250222006200820062008)(1)(1)(cossinbababaCbCabxax.14（2006天津）在ABCRt中，c，r，S分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则Scr的取值范围是)1,222[．15（2006天津）已知)sin3,cos2(A，)sin3,cos2(B，)0,1(C是平面上三个不同的点，且满足关系式BCCA，则实数的取值范围是331．16（2006年江苏）设2cos23，则44cossin的值是1118．172006吉林预赛）若41)12(sin)12(sin22xx，且)43,2(x，则tanx的值为__________.18（2006年南昌市）已知sincos=52,(2＜＜),则tancot=_8623____.19．（2006年上海）设(2)nn是给定的整数，12,,,nxxx是实数，则1223sincossincosxxxx1sincosnxx的最大值是2n．20．（2004全国）在平面直角坐标系xoy中，函数()sincos(0)fxaaxaxa在一个最小正周期长的区间上的图像与函数2()1gxa的图像所围成的封闭图形的面积是________________.解：21()1sin(),arctanfxaaxa其中，它的最小正周期为2a，振幅为21a。由()fx的图像与()gx的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为2a、宽为21a的长方形，故它的面积是221aa。21．(2005全国)设、、满足20，若对于任意)cos()cos(,xxRx,0)cos(x则.34解：设),cos()cos()cos()(xxxxf由Rx，0)(xf知，,0)(,0)(ff,0)(f即)cos(,1)cos()cos(1)cos(，.1)cos()cos()cos()cos()cos(,20},34,32{,,又,.只有.32.34另一方面，当,32有,,34,32Rx记x，由于三点),34(cos()),32sin(),32(cos(),sin,(cos))34sin(构成单位圆122yx上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有.0)34cos()32cos(cos即.0)cos()cos()cos(xxx二、向量部分1．(集训试题)已知a=(cos32π,sin32π),baOA,baOB，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于（）A．1B．21C．2D．23解：设向量b=(x,y)，则||||0))((babababa，即2222)23()21()23()21(023,21()23,21(yxyxyxyx，即yxyx3122.∴)21,23(b或)21,23(，∴S△AOB=21||||baba=1。2．（2004全国）设O点在ABC内部，且有230OAOBOC，则ABC的面积与AOC的面积的比为（）A．2B．32C．3D．53解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则2(1)2()4(2)OAOCODOBOCOE由（1）（2）得，232(2)0OAOBOCODOE，即ODOE与共线，且332||2||,322AECABCAOCAOCSSODOESS，故选C。3．（2006陕西赛区预赛）如图1，设P为△ABC内一点，且2155APABAC，则△ABP的面积与△ABC的面积之比为(A)A．15B．25C．14D．134．(2005年浙江)已知a，b是两个相互垂直的单位向量，而13||c，3ac，4bc.则对于任意实数21,tt，||21btatc的最小值是（）A．5B．7C．12D．13OBCAED【解】：由条件可得222121222186ttttcbtatc25)4()3(1692221tt2221)4()3(144tt144当4,321tt时，144221btatc。选【C】5．(2005全国)空间四点A、B、C、D满足,9||,11||,7||,3||DACDBCAB则BDAC的取值（）A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个解：注意到,9711301132222由于,0DACDBCAB则22DADA=22222)(2)(ABABCDCDBCBCABCDBCABCDBCABABCDBCABABCDCDBCBCABBCCDBC(2)(2222222),()CDBCBC即BDACCDABBCADBDAC,022222只有一个值得0，故选A。6．（2006吉林预赛）已知P为△ABC内一点，且满足0543PCPBPA，那么S△PAB：S△PBC：S△PCA=.7．（2006年南昌市）等腰直角三角形的直角顶点A对应的向量为1,0A,重心G对应的向量为2,0G,则三角形另二