初一数学竞赛常见题型

七年级数学竞赛常见题型有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方.通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.【核心例题】例1计算：200720061......431321211分析此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成2111211，可利用通项11111nnnn，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.解原式=)2007120061(......413131212111）（）（）（=2007120061......41313121211=200711=20072006例2已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图).化简bcbaa.分析从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a－b0、c－b0.解由数轴知，a0，a－b0，c－b0所以，bcbaa=－a－(a－b)+(c－b)=－a－a+b+c－b=－2a+cAOBCabc例3计算：211311...9811991110011分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.解原式=2132......9897999810099=1001例4计算：2－22－23－24－……－218－219+220.分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2－22+23=2+22（－1+2）=2+22=6.再考虑2－22－23+24=2－22+23（－1+2）=2－22+23=2+22（－1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.解原式=2－22－23－24－……－218+219（－1+2）=2－22－23－24－……－218+219=2－22－23－24－……－217+218（－1+2）=2－22－23－24－……－217+218=……=2－22+23=6【核心练习】1、已知│ab－2│与│b－1│互为相反数，试求：......1111baab200620061ba的值.（提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1.）2、代数式ababbbaa的所有可能的值有（）个（2、3、4、无数个）【参考答案】1、200820072、3字母表示数篇【核心提示】用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法.【典型例题】例1已知：3x－6y－5=0,则2x－4y+6=_____分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x－6y－5=0，可得35x,把x、y的值代入2x－4y+6可得答案328.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的.解由3x－6y－5=0，得352yx所以2x－4y+6=2(x－2y)+6=6352=328例2已知代数式1)1(nnxx，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是，当x=－1时，代数式的值是.分析当x=1时，可直接代入得到答案.但当x=－1时，n和(n－1)奇偶性怎么确定呢？因n和(n－1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶.解当x=1时，1)1(nnxx=111)1(nn=3当x=－1时，1)1(nnxx=1)1()1()1(nn=1例3152=225=100×1（1+1）+25，252=625=100×2（2+1）+25352=1225=100×3（3+1）+25，452=2025=100×4（4+1）+25……752=5625=，852=7225=（1）找规律，把横线填完整；（2）请用字母表示规律;（3）请计算20052的值.n=1,S=1①n=2,S=5②③n=3,S=9分析这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.解(1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25(2)(10n+5)2=100×n（n+1）[phone]=100×200（200+1）+25=4020025例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.S表示三角形的个数.（1）当n=4时，S=，（2）请按此规律写出用n表示S的公式.分析当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.解(1)S=13(2)可列表找规律：n123…nS159…4(n－1)+1S的变化过程11+4=51+4+4=9…1+4+4+…+4=4(n－1)+1所以S=4(n－1)+1.(当然也可写成4n－3.)【核心练习】1、观察下面一列数，探究其中的规律：—1，21，31，41，51，61①填空：第11，12，13三个数分别是，，；②第2008个数是什么？③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？.2、观察下列各式:1+1×3=22,1+2×4=32,1+3×5=42,……请将你找出的规律用公式表示出来:【参考答案】1、①111，121，1311;②20081;③0.2、1+n×(n+2)=(n+1)2平面图形及其位置关系篇【核心提示】平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便.【典型例题】例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个.分析6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.解找交点最多的规律：直线条数234…n交点个数136…2)1(nn交点个数变化过程11+2=31+2+3=6…1+2+3+…+(n－1)图形图1图2图3…图1图2图3例2两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（）条直线.A．20B．36C．34D．22分析与解让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线.故选D.例3如图，OM是∠AOB的平分线.射线OC在∠BOM内，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于_______.分析求∠MON有两种思路.可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON.也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB－∠BON=∠AON－∠AOM=∠AOB－∠AOM－∠BON.根据两条角平分线，想办法和已知的∠AOC靠拢.解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的.解因为OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，所以∠MOB=21∠AOB，∠NOB=21∠COB所以∠MON=∠MOB－∠NOB=21∠AOB－21∠COB=21（∠AOB－∠COB）=21∠AOC=21×80°=40°例4如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.（1）求∠DOE的大小；（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论.分析此题看起来较复杂，OC还要在∠AOB内绕O点旋转，是一个动态问题.当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半，也就是说要求的∠DOE，和OC在∠AOB内的位置无关.解(1)因为OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.所以∠DOC=21∠BOC，∠COE=21∠COA所以∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠BOC+21∠COA=21（∠BOC+∠COA）=21∠AOB因为∠AOB=60°OBAMCNOBACDE所以∠DOE=21∠AOB=21×60°=30°(2)由（1）知∠DOE=21∠AOB，和OC在∠AOB内的位置无关.故此时∠DOE的大小和（1）中的答案相同.【核心练习】1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条.2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时分.【参考答案】1、15条2、分分或1165411921.一元一次方程篇【核心提示】一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。【典型例题】例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值.分析因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解.认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入.解由2x+3=2a，得2x=2a－3.把2x=2a－3代入2x+a=2得2a－3+a=2，3a=5,所以35a例2解方程31221xxx分析这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况.解两边同时乘以6，得6x－3(x－1)=12－2(x+1)去分母，得6x－3x+3=12－2x－26x－3x+2x=12－2－35x=7x=57例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.分析这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程.解：设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为%100xxy,原进价降低后在销售时的利润率为%100%6.93%6.93xxy,由题意得：%100xxy+8%=%100%6.93%6.93xxy解得y=1.17x故这种商品原来的利润率为%10017.1xxx=17%.例4解方程│x－1│+│x－5│=4分析对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论.解：由题意可知，当│x－1│=0时，x=1；当│x－5│=0时，x=5.1和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：1）当x1时，原方程可化为–(x－1)－(x－5)=4，解得x=1.因x1，所以x=1应舍去.2）当1≤x≤5时，原方程可化为(x－1)－(x－5)=4，解得4=4，所以x在1≤x≤5范围内可任意取值.3）