第二十二届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题

五羊杯数×学竞赛好×3＝五羊杯数学竞赛好，在这个乘法算式中，每个数字表示一个数字，第二十二届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题一、选择题（4选1型，共10小题，每小题选对得5分，否则得0分。本题满分50分）1、在正方体的八个顶点上分别标注数字1——8，使得每个面上的四个顶点处的数字和均相等。那么这个相等的和是。2、满足不等式＜4的x的取值范围是。A、x＞3B、x＜－C、x＞3或x＜－D、无法确定3、梯形ABCD中，BC∥AD，BC＝1000，AD＝2010，∠A＝37°，∠D＝53°，M是BC的中点，N是AD的中点，则线段MN的长为。4、如果a是方程的一个根，那么的值为。A、1B、－1C、2D、－25、已知x、y、z都是实数，且。A、只有最大值B、只有最小值C、既有最大值也有最小值D、既无最大值也无最小值6、如图，点O在△ABC内，点P、Q、R分别在AB、BC、CA上，且OP∥BC，OQ∥CA，OR∥AB，OP＝OQ＝OR＝x，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则x＝。A、B、C、D、7、一枚不均衡的正方体骰子，投掷一次出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率之比是1：2：3：4：5：6，连掷两次这枚骰子，出现的点数之和为7的概率是。A、B、C、D、8、一个三角形的三个顶点分别是（0，0），（1，1），（6m，0）。直线y＝mx把此三角形的面积二等分，所有满足条件的m的值之和是。A、－B、－C、D、9、对每个正整数n，用S（n）表示n的各位数字之和，那么有个n使得:n＋S(n)＋S(S(n))＝2010成立。A、2B、3C、4D、510、定义函数f（x）＝，令，，…，，n是正整数，在0≤x≤1的范围内，共有个x值可使（）A、2010B、4020C、D、二、填空题（共10小题，每小题选对得5分，否则得0分。本题满分50分）11、共有组整数解。12、从1—2010这2010个自然数中最多能取出个数，使得其中任意两数不连续而且其差不等于4。13、如图所示，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P在BC边上，且BP＝3，把△ABC绕点P逆时针旋转90°至△DEF处，则△ABC与△DEF重合部分，（图中阴影部分）的面积是。14、正整数a、b、c、d满足a＞b＞c＞d，且，那么a的可能值共有个。15、不同的汉字可能表示相同的数字，首位数字不为0，那么四位数五羊杯数＝。16、设下列三个一元二次方程：；；，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是。17、有20个重量都是整数克的砝码，可以有重量相同的砝码，用它们可以称出重量为整数克并且不超过2010克的所有物体的重量，称量时砝码放在天平的右盘，物体放在天平的左盘。这20个砝CBAOQPR码中最重的砝码最小是克。18、实数a，b，x，y满足ax＋by＝3，a，a，a，那么a。19、满足abcde≤a＋b＋c＋d＋e≤10的有序正整数组（a，b，c，d，e）共有组。20、方程[x]＋＝3的解是。其中[x]表示不超过x的最大整数。一、选择题（4选1型，共10小题，每小题选对得5分，否则得0分。本题满分50分）1、在正方体的八个顶点上分别标注数字1——8，使得每个面上的四个顶点处的数字和均相等。那么这个相等的和是。解：每个点上所标的数被三个面所用，所以六个面上的“面和”＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×3＝108，所以每个面上的四个数之和＝108÷6＝182、满足不等式＜4的x的取值范围是。A、x＞3B、x＜－C、x＞3或x＜－D、无法确定解：＜4，，＜0，当x＞0时化为＞0，所以x＞3；当x时，化为＞0，所以x＜－。答案：C672548133、梯形ABCD中，BC∥AD，BC＝1000，AD＝2010，∠A＝37°，∠D＝53°，M是BC的中点，N是AD的中点，则线段MN的长为。解：延长AB，DC交于点P，∠A＝37°，∠D＝53°，则∠APD＝90°∴PM＝，PN＝，∴MN＝5054、如果a是方程的一个根，那么的值为。A、1B、－1C、2D、－2解：。答案：B5、已知x、y、z都是实数，且。A、只有最大值B、只有最小值C、既有最大值也有最小值D、既无最大值也无最小值解：；6、如图，点O在△ABC内，点P、Q、R分别在AB、BC、CA上，且OP∥BC，OQ∥CA，OR∥AB，OP＝OQ＝OR＝x，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则x＝。A、B、C、D、解：分别过点P、Q、R作PD∥AC交BC于D，QE∥AB交AC于E，RF∥BC交AB于F。则PD＝DQ＝QE＝ER＝RF＝FP＝x，，即BD＝；，即CQ＝。BC＝BD＋DQ＋CQ，即a＝＋x＋。答案：A7、一枚不均衡的正方体骰子，投掷一次出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率之比是1：2：3：4：5：6，连掷两次这枚骰子，出现的点数之和为7的概率是。A、B、C、D、解：投掷一次骰子，出现点数为k（1≤k≤6）的概率是，连掷两次这枚骰子，出现的点数之和为7的情形是（1＋6），（6＋1），（2＋5），（5＋2），（3＋4），（4＋3）。所以出现的点数之和为7的概率＝······。答案：C8、一个三角形的三个顶点分别是（0，0），（1，1），（6m，0）。直线y＝mx把此三角形的面积二等分，所有满足条件的m的值之和是。A、－B、－C、D、解：由于O（0，0），A（6m，0）都在x轴上，B（1，1），且直线y＝mx过原点，所以要平分△OAB的面积，直线y＝mx必须过AB的中点M（）。即：m·，解得，，所以。答案：B9、对每个正整数n，用S（n）表示n的各位数字之和，那么有个n使得:n＋S(n)＋S(S(n))＝2010成立。A、2B、3C、4D、5解：n≤2010，S（n）≤S（1999）＝28，S（S（n））≤S（28）＝10，n＋S(n)＋S(S(n))＝2010，所以n≥2010－28－10＝1972，当n＝1978，1981，1984，2002时可使n＋S(n)＋S(S(n))＝2010。10、定义函数f(x)＝，令，，…，，n是正整数，在0≤x≤1的范围内，共有个x值可使（）A、2010B、4020C、D、解：f（x）＝，f（x）的图象如右图：在0≤x≤1时有两个x值使f（x）＝CBAOQPRPNMADBCEDFCBAOQRP110.50五羊杯数×学竞赛好×3＝五羊杯数学竞赛好，在这个乘法算式中，每个数字表示一个数字，用表示使得的个数，则；f（f（x））＝的图象如右：在0≤x≤1时有四个x值使＝，则x的取值范围和的取值范围都是01，而每次都有两种选择，所以使得的x值共有个。答案：C二、填空题（共10小题，每小题选对得5分，否则得0分。本题满分50分）共有2010组整数解。（）＝（），（），（2），（），…，（），（）共2010组12、从1—2010这2010个自然数中最多能取出804个数，使得其中任意两数不连续而且其差不等于4从1开始每10个连续自然数为一组，每组取个位数字是1、3、6、8的四个数，这样12010最多可以取201×4＝804个。13、如图所示，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P在BC边上，且BP＝3，把△ABC绕点P逆时针旋转90°至△DEF处，则△ABC与△DEF重合部分，（图中阴影部分）的面积是1.44平方单位。由题意得，PC＝2，PW＝PV＝1.5，BV＝1.5，VC＝3.5，WC＝2.5△CPW∽△CXV，，：：∴×1.5÷－1.5＝1.4414、正整数a、b、c、d满足a＞b＞c＞d，且，那么a的可能值共有1006个因为，而、都是正整数。所以，即a＋＋c＋＝2010，所以a＋c＝1006，15、不同的汉字可能表示相同的数字，首位数字不为0，那么四位数1667。左边是a的倍数，右边10000a是a的倍数，所以b也是a的倍数，设b=na，所以n=是正整数。3×1000－1≤3a－1≤10000，3a－1＝5000或10000，a＝1667或a＝（舍去）进而n＝2，b＝an＝1667×2＝3334，所以四位数16、设下列三个一元二次方程：；；，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是。；；。综合上述，当时，三个方程均没有实数根，故当或时，至少有一个方程有实根。17、有20个重量都是整数克的砝码，可以有重量相同的砝码，用它们可以称出重量为整数克并且不超过2010克的所有物体的重量，称量时砝码放在天平的右盘，物体放在天平的左盘。这20个砝码中最重的砝码最小是147克。110.50XWVDEFABPC五羊杯数=1667五羊杯数=学竞赛杯=b五羊杯数=a五羊杯数×学竞赛好×3＝五羊杯数学竞赛好，化为：3ab=10000a+b，18、实数a，b，x，y满足ax＋by＝3，a，a，a，那么a。(a，整理得：a，得方程：；（a，整理得：a，得方程：；得方程组：，解得：（a，整理得：.19、满足abcde≤a＋b＋c＋d＋e≤10的有序正整数组（a，b，c，d，e）共有116组。当a＝b＝c＝d＝e＝1时，所以（a，b，c，d，e）＝（1，1，1，1，1）只有一组解；当a，b，c，d，e中有四个为1时，第五个有2，3，4，5，6五种可能。所以（a，b，c，d，e）共有5×5＝25组解；当a，b，c，d，e中有三个为1时，另两个可能是（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，3），再考虑计数顺序，共有×8＝80组种；当a，b，c，d，e中有二个为1时，由于其积小于等于10，所以其余三个都必须是2，，这时共有＝10组解所以满足题设条件的有序正整数组（a，b，c，d，e）共有1＋25＋80＋10＝160（组）20、方程[x]＋＝3的解是3。其中[x]表示不超过x的最大整数。由题意知：x＞0当时，[x]＝0，原方程化为：＝3，即3，解得：；当x＞1时，，＝0，原方程化为：[x]＝3，3。当x＝1时，不合题意。综上此方程的解为：3