初中数学竞赛试题及答案(免费)6

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）1．方程组12,6xyxy的解的个数为（）．（A）1（B）2（C）3（D）4答：（A）．解：若x≥0，则12,6,xyxy于是6yy，显然不可能．若0x，则12,6,xyxy于是18yy，解得9y，进而求得3x．所以，原方程组的解为,9,3yx只有1个解．故选（A）．2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）．（A）14（B）16（C）18（D）20答：（B）．解：用枚举法：红球个数白球个数黑球个数种数52，3，4，53，2，1，0443，4，5，63，2，1，0434，5，6，73，2，1，0425，6，7，83，2，1，04所以，共16种．故选（B）．3．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（）．（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心答：（B）．解：如图，连接BE，因为△ABC为锐角三角形，所以BAC，ABE均为锐角．又因为⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以BACABE．于是，2BECBACABEBAC．若△ABC的外心为1O，则12BOCBAC，所以，⊙O一定过△ABC的外心．故选（B）．4．已知三个关于x的一元二次方程02cbxax，02acxbx，02baxcx恰有一个公共实数根，则222abcbccaab的值为（）．（A）0（B）1（C）2（D）3答：（D）．解：设0x是它们的一个公共实数根，则0020cbxax，0020acxbx，0020baxcx．把上面三个式子相加，并整理得200()(1)0abcxx．因为22000131()024xxx，所以0abc．于是222333333()abcabcababbccaababcabc3()3abababc．故选（D）．5．方程323652xxxyy的整数解（x，y）的个数是（）．（A）0（B）1（C）3（D）无穷多答：（A）．（第3题答案图）解：原方程可化为2(1)(2)3(1)(1)2xxxxxyyy（），因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图，在直角三角形ABC中，90ACB，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是．答：4．解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称点记为点E，线段BP把图形APCB分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积的两倍．而1122222BPOSPOCO．因此，这两部分面积之差的绝对值是4．7．如图,点A，C都在函数33(0)yxx的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为．答：（26，0）．解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE＝a，BF＝b，则AE＝3a，CF＝3b，所以，点A，C的坐标为（a，3a），（2a＋b，3b），所以2333,3(2)33,abab解得3,63,ab因此，点D的坐标为（26，0）．（第6题答案图）（第7题答案图）8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数233yxax的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是．答：1≤12a，或者323a．解：分两种情况：（Ⅰ）因为二次函数233yxax的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0），所以032)3(231)3(122aa，得112a．由031)3(12a，得1a，此时11x，32x，符合题意；由032)3(22a，得12a，此时21x，232x，不符合题意．（Ⅱ）令2330xax，由判别式0，得323a．当323a时，123xx，不合题意；当323a时，123xx，符合题意．综上所述，a的取值范围是1≤12a，或者323a．9．如图，90ABCDEFGn，则n＝．答：6．解：如图，设AF与BG相交于点Q，则AQGADG，于是ABCDEFGBCEFAQGBCEFBQF540690．所以，n＝6．10．已知对于任意正整数n，都有312naaan，则23100111111aaa．（第9题答案图）答：33100．解：当n≥2时，有3121naaaann，3121(1)naaan，两式相减，得2331nann，所以),111(31)1(3111nnnnan,4,3,2n因此23100111111aaa11111111(1)()()323233991001133(1)3100100．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11（A）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线214yx上的一个动点．（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线1y的位置关系；（2）设直线PM与抛物线214yx的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：PNMQNM．解：（1）设点P的坐标为2001(,)4xx，则PM＝2222220000111(1)(1)1444xxxx;又因为点P到直线1y的距离为220011(1)144xx，所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线1y相切．…………5分（2）如图，分别过点P，Q作直线1y的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．（第11A题答案图）因为PH，MN，QR都垂直于直线1y，所以，PH∥MN∥QR，于是QMMPRNNH，所以QRPHRNHN，因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．于是HNPRNQ，从而PNMQNM．…………15分12（A）．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程21()02xabxab是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.解：不妨设a≤b，且方程的两个整数根为12,xx(1x≤2x)，则有1212,1(),2xxabxxab所以12121122xxxxabab，124(1)(1)(21)(21)5xxab.…………5分因为a,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，11x≥0,21x≥0，21a≥1,21b≥1，所以12(1)(1)0,(21)(21)5,xxab或.1)12)(12(,1)1)(121baxx（（1）当12(1)(1)0,(21)(21)5xxab时，由于a,b都是正整数，且a≤b，可得a＝1，b＝3，此时，一元二次方程为2320xx，它的两个根为11x，22x．（2）当12(1)(1)1,(21)(21)1xxab时，可得a＝1，b＝1，此时，一元二次方程为210xx，它无整数解.综上所述，当且仅当a＝1，b＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为11x，22x．……………15分13（A）．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为,EF，则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以90ACBADB．在Rt△ABC和Rt△ABD中，由射影定理得22PAACAEAB，22PBBDBFAB．……………5分两式相减可得22PAPBABAEBF，又22()()PAPBPAPBPAPBABPAPB，于是有AEBFPAPB，即PAAEPBBF，所以PEPF，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形CDFE的中位线，于是有MPAB，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．……………15分14（A）．（1）是否存在正整数m，n，使得(2)(1)mmnn？（2）设k(k≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得()(1)mmknn？解：（1）答案是否定的．若存在正整数m，n，使得(2)(1)mmnn，则22(1)1mnn，显然1n，于是2221(1)nnnn，所以，21nn不是平方数，矛盾．……………5分（第13A题答案图）（2）当3k时，若存在正整数m，n，满足(3)(1)mmnn，则2241244mmnn，22(23)(21)8mn，(2321)(2321)8mnmn，(1)(2)2mnmn，而22mn，故上式不可能成立．………………10分当k≥4时，若2kt（t是不小于2的整数）为偶数，取22,1mttnt，则2242()()()mmktttttt，2242(1)(1)nntttt，因此这样的（m，n）满足条件．若2kt＋1（t是不小于2的整数）为奇数，取222,22ttttmn，则224321()(21)(22)224ttttmmkttttt，2243221(1)(22)224ttttnntttt，因此这样的（m，n）满足条件．综上所述，当3k时，答案是否定的；当k≥4时，答案是肯定的．……………15分注：当k≥4时，构造的例子不是唯一的．11（B）．已知抛物线1C：234yxx和抛物线2C：234yxx相交于A，B两点.点P在抛物线1C上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线2C上，也位于点A和点B之间.（1）求线段AB的长；（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．解：（1）解方程组2234,34,yxxyxx得112,6,xy222,6,xy所以，点A，B的坐标分别是（-2，6），（2，-6）．于是22(22)(66)410AB．…………5分（2）如图，当PQ∥y轴时，设点P，Q的坐标分别为)43,(2ttt，)43,(2ttt，22t，因此PQ22(4)t≤8，当0t时等号成立，所以，PQ的长的最大值8．……………15分12（B）．实数a，b，c满足a≤b≤c，且0abbcca，abc＝1．求最大的实数k，使得不等式ab≥kc恒成立．解：当32ab，322c时，实数a，b，c满足题设条件，此时k≤4．……………5分下面证明：不等式ab≥