物理竞赛微元法

三、微元法方法简介微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。赛题精讲例1：如图3—1所示，一个身高为h的人在灯以悟空速度v沿水平直线行走。设灯距地面高为H，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。设某一时间人经过AB处，再经过一微小过程Δt（Δt→0），则人由AB到达A′B′，人影顶端C点到达C′点，由于ΔSAA′=vΔt则人影顶端的移动速度：vC=CCt0Slimt=AAt0HSHhlimt=HHhv可见vc与所取时间Δt的长短无关，所以人影的顶端C点做匀速直线运动。例2：如图3—2所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ。试求铁链A端受的拉力T。解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况。在铁链上任取长为ΔL的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示。由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：Tθ+ΔTθ=ΔGcosθ+Tθ，ΔTθ=ΔGcosθ=ρgΔLcosθ由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大ΔTθ，所以整个铁链对A端的拉力是各段上ΔTθ的和，即：T=ΣΔTθ=ΣρgΔLcosθ=ρgΣΔLcosθ观察ΔLcosθ的意义，见图3—2—乙，由于Δθ很小，所以CD⊥OC，∠OCE=θΔLcosθ表示ΔL在竖直方向上的投影ΔR，所以ΣΔLcosθ=R，可得铁链A端受的拉力：T=ρgΣΔLcosθ=ρgR例3：某行星围绕太阳C沿圆弧轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点A时的速度为vA，行星的远日点B离开太阳的距离为b，如图3—3所示，求它经过远日点B时的速度vB的大小。解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解。也可根据开普勒第二定律，用微元法求解。设行星在近日点A时又向前运动了极短的时间Δt，由于时间极短可以认为行星在Δt时间内做匀速圆周运动，线速度为vA，半径为a，可以得到行星在Δt时间内扫过的面积：Sa=12vAΔta同理，设行星在经过远日点B时也运动了相同的极短时间Δt，则也有：Sb=12vBΔtb由开普勒第二定律可知：Sa=Sb。即得：vB=abvA（此题也可用对称法求解。）例4：如图3—4所示，长为L的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m，船的质量为M，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，系统所受合外力为零，可知系统动量守恒。设人在走动过程中的Δt时间内为匀速运动，则可计算出船的位移。设v1、v2分别是人和船在任何一时刻的速率，则有：mv1=Mv2①两边同时乘以一个极短的时间Δt，有：mv1Δt=Mv2Δt②由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，所以人和船位移大小分别为Δs1=v1Δt，Δs2=v2Δt由此将②式化为：mΔs1=MΔs2③把所有的元位移分别相加有：mΣΔs1=MΣΔs2④即：ms1=Ms2⑤此式即为质心不变原理。其中s1、s2分别为全过程中人和船对地位移的大小，又因为：L=s1+s2⑥由⑤、⑥两式得船的位移：s2=mMmL例5：半径为R的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR，且弹性绳圈的劲度系数为k，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图3—5所示，若平衡时弹性绳圈长为2πR，求弹性绳圈的劲度系数k。解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段Δm两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F。在弹性绳圈上任取一小段质量为Δm作为研究对象，进行受力分析。但是Δm受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察。选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系。从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙。先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，Δm所对的圆心角是Δθ，则每一小段的质量：Δm=2MΔm在该平面上受拉力F的作用，合力为：T=2Fcos2=2Fsin2因为当θ很小时，sinθ≈θ，所以：T=2F2=FΔθ①再看正视图3—5—乙，Δm受重力Δmg，支持力N，二力的合力与T平衡。即：T=Δmgtanθ现在弹性绳圈的半径为：r=2R2=22R所以：sinθ=rR=22，θ=45°，tanθ=1因此：T=Δmg=2Mg②将①、②联立，有：2Mg=FΔθ，解得弹性绳圈的张力为：F=Mg2设弹性绳圈的伸长量为x，则：x=2πR－πR=(2－1)πR所以绳圈的劲度系数为：k=Fx=2Mg2(21)R=2(21)Mg2R例6：一质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。解析：因为向心力F=mrω2，当ω一定时，r越大，向心力越大，所以要想求最大张力T所对应的角速度ω，r应取最大值。如图3—6所示，在圆环上取一小段ΔL，对应的圆心角为Δθ，其质量可表示为Δm=2M，受圆环对它的张力为T，则同上例分析可得：2Tsin2=Δmrω2因为Δθ很小，所以：sin2≈2，即：2T2=2Mrω2解得最大角速度：ω=2TMr例7：一根质量为M，长度为L的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图3—7所示，求链条下落了长度x时，链条对地面的压力为多大？解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力。根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化。由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同。我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击。设开始下落的时刻t=0，在t时刻落在地面上的链条长为x，未到达地面部分链条的速度为v，并设链条的线密度为ρ。由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零。从t时刻起取很小一段时间Δt，在Δt内又有ΔM=ρΔx落到地面上静止。地面对ΔM作用的冲量为：(F－ΔMg)Δt=ΔI因为ΔMgΔt≈0，所以：FΔt=ΔMv－0=ρvΔx，解得冲力：F=ρvxt，其中xt就是t时刻链条的速度v，故F=ρv2，链条在t时刻的速度v即为链条下落长为x时的即时速度，即：v2=2gx代入F的表达式中，得：F=2ρgx此即t时刻链对地面的作用力，也就是t时刻链条对地面的冲力。所以在t时刻链条对地面的总压力为：N=2ρgx+ρgx=3ρgx=3MgxL例8：一根均匀柔软的绳长为L，质量为m，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？解析：钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，由此可用微元法求解。如图3—8所示，当左边绳端离钉子的距离为x时，左边绳长为12(l－x)，速度v=2gx，右边绳长为12(l+x)又经过一段很短的时间Δt以后，左边绳子又有长度12vΔt的一小段转移到右边去了，我们就分析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉力T和它本身的重力12vΔtλg（λ=ml为绳子的线密度）根据动量定理，设向上方向为正，有：(T－12vΔtλg)Δt=0－(－12vΔtλv)由于Δt取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T来说是很小的，可以忽略，所以有：T=12v2λ=gxλ因此钉子对右边绳端的作用力为：F=12(l+x)λg+T=12mg(1+3xl)例9：图3—9中，半径为R的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M、m。设圆盘与绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度。解析：求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位长度所受的支持力。因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳，其两端受的张力大小相等，又因为绳上各点受的支持力方向不同，故不能以整条绳为研究对象，只能以一小段绳为研究对象分析求解。在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元ΔL，ΔL所对应的圆心角为Δθ，如图3—9—甲所示，绳元ΔL两端的张力均为T，绳元所受圆盘法向支持力为ΔN，因细绳质量可忽略，法向合力为零，则由平衡条件得：ΔN=Tsin2+Tsin2=2T2当Δθ很小时，sin2≈2，故ΔN=TΔθ。又因为ΔL=RΔθ，则绳所受法向支持力线密度为：n=NL=TR=TR①以M、m分别为研究对象，根据牛顿定律有：Mg－T=Ma②T－mg=ma③由②、③解得：T=2MmgMm将④式代入①式得：n=2Mmg(Mm)R例10：粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R和r的两圆环相切。若在切点放一质点m，恰使两边圆环对m的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？解析：若要直接求整个圆对质点m的万有引力比较难，当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m的相互作用，然后推及整个圆环即可求解。如图3—10所示，过切点作直线交大小圆分别于P、Q两点，并设与水平线夹角为α，当α有微小增量时，则大小圆环上对应微小线元：ΔL1=R2Δα，ΔL2=r2Δα其对应的质量分别为：Δm1=ρ1Δl1=ρ1R2Δα，Δm2=ρ2Δl2=ρ2r2Δα由于Δα很小，故Δm1、Δm2与m的距离可以认为分别是：r1=2Rcosα，r2=2rcosα所以Δm1、Δm2与m的万有引力分别为：ΔF1=121Gmmr=12GR2m(2Rcos)，ΔF2=222Gmmr=22GR2m(2rcos)由于α具有任意性，若ΔF1与ΔF2的合力为零，则两圆环对m的引力的合力也为零，即：12GR2m(2Rcos)=22GR2m(2rcos)解得大小圆环的线密度之比为：12=Rr例11：一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v，那么火箭发动机的功率是多少？解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率。选取在Δt时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F，根据动量定理，有：FΔt=Δmv因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有：F=Mg即：MgΔt=Δmv，或者：Δt=mvMg对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为：W=12Δmv2所以发动机的功率：P=Wt=21mv2mvMg=12Mgv例12：如图3—11所示，小环O和O′分别套在不动的竖直杆AB和A′B′上，一根不可伸长的绳子穿过环O′，绳的两端分别系在A′点和O环上，设环O′以恒定速度v向下运动，求当∠AOO′=α时，环O的速度。解析：O、O′之间的速度关系与O、O′的位置有关，即与α角有关，因此要用微元法找它们之间的速度关系。设经历一段极短时间Δt，O′环移到C′，O环移到C，