四川省2011初二数学竞赛初赛试题及答案

2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、分式)0(xyzzyxxyz中zyx,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（）。（A）2倍（B）4倍（C）6倍（D）8倍答：选B。2、有甲、乙两班，甲班有m个人，乙班有n个人。在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分。则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（）．（A）2ba（B）2nm（C）babnam（D）nmbnam答：选D。3、若实数a满足aa||，则||2aa一定等于（）．（A）2a（B）0（C）-2a（D）-a答：因为aa||，所以0a，故aaaaaa2|2|||||||2，选C。4、ABC中，AD是BAC的平分线，且CDACAB。若60BAC，则ABC的大小为（）（A）40（B）60（C）80（D）100答：作C关于AD的对称点C’。因为AD是角平分线，则C’一定落在AB上。由CDACAB，得DCACAB''，故DCBC''，所以BDACC2'，又120180ACB，故40B，选A。5、在梯形ABCD中，AD平行BC，2:1:BCAD，若ABO的面积是2，则梯形ABCD的面积是（）。（A）7（B）8（C）9（D）10答：设xSADO。由2:1:::CDOADOSSOCAOBCAD，故xSCDO2，同理xSABO2，xSCBO4，故1x，所以梯形面积是9，选C。6、有一个最多能称10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（）。重量（千克）11.522.533.5第5题OADBC第4题C'DABC长度（厘米）4.555.566.57A10厘米B13.5厘米C14厘米D14.5厘米答：由表中关系可以得到，弹簧长度（y）与称重（x）的关系是xy5.3，故弹簧最长为13.5厘米，选B。二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知131,131ba，则722ba的值为.答：由题设有：4324,432422ba，则3722ba。2、已知在ABC中，90C，AD是BAC的平分线交BC于点D，1:2:DCBD，则B的度数是。答：因为AD是角平分线，所以1:2::ACABDCBD，故30B。３、在ABC中，80A，I是CB,的角平分线的交点，则BIC的度数为．答：由题知1302190)180(21180)2121(180AACBBIC。４、设函数)0(kkxy与xy1的图像相交于A、C，过A作x轴的垂线相交于B，则ABC的面积是。答：由题得B的坐标为),1(kk，所以21121kkSABO，又显然O为AC的中点，故12ABOABCSS。三、（本大题满分20分）设txtx22是关于x的方程。当方程的解分别：（1）大于0；（2）等于0；（3）小于0时，求t的取值范围。解：方程整理为txt2)2(当2t时，方程的解为：22ttx…………………5分第2题DBAC第4题yxCBOA（1）当0x时，则022tt，此时，2t或2t；…………………10分（2）当0x时，则022tt，此时，2t；…………………15分（3）当0x时，则022tt，此时，22t。…………………20分四、(本大题满分25分)在平面直角坐标系中，A（2,0），B（3,0），P是直线xy上的点，当PBPA最小时，试求P点的坐标。解：如图，作A关于直线xy的对称点A’，则'PAPA，故PBPAPBPA'。…………………5分由图知，只有当A、P、B共线时，PBPA最小。……10分又由A与A’关于xy对称知，A’（0,2）。………………15分由'A、B两点坐标得AB直线方程：123yx。………20分联立xyyx123解得56yx，故当PBPA最小时，P的坐标为)56,56(。…………………25分五、（本大题满分25分）求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形。设BD、CE是ABC的两条中线（如图），证明ACAB。……5分证明1作中线AF，则三条中线交于重心G。……10分因为BDBG32，CECG32，所以CGBG；………15分所以BCGF，即BCAF。………20分又AF是中线，故ACAB。……………25分证明2：如图，将EC沿ED平移得DF，连接ED、CF，则四边形EDFC是平行四边形，所以DFECBD.…………10分又D、E分别AC、AB的中点，所以DE平行BC，所以B、C、F共线。所以ECBDFBDBF………15分又BD=CE，BC=CB所以)(SASDBCECB………20分所以ACBABC，故AB=AC。……………25分xy第四题A'OABPGEDFCBAFEDBCA