第20届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案

第二十届全国中学生物理竞赛预赛试卷全卷共七题，总分为140分．一、（20分）两个薄透镜L1和L2共轴放置，如图所示．已知L1的焦距f1=f,L2的焦距f2=—f，两透镜间距离也是f．小物体位于物面P上，物距u1＝3f．（1）小物体经这两个透镜所成的像在L2的__________边，到L2的距离为_________，是__________倍（虚或实）、____________像（正或倒），放大率为_________________。（2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向____________边移动距离_______________．这个新的像是____________像（虚或实）、______________像（正或倒）放大率为________________。二、(20分)一个氢放电管发光，在其光谱中测得一条谱线的波长为4.86×10-7m．试计算这是氢原子中电子从哪一个能级向哪一个能级（用量子数n表示）跃迁时发出的？已知氢原子基态（n＝1）的能量为El=一13.6eV＝－2.18×10-18J，普朗克常量为h=6.63×10－34J·s。三、(20分)在野外施工中，需要使质量m＝4.20kg的铝合金构件升温。除了保温瓶中尚存有温度t＝90.0℃的1.200kg的热水外，无其他热源．试提出一个操作方案，能利用这些热水使构件从温度t0=10℃升温到66.0℃以上（含66.0℃），并通过计算验证你的方案．已知铝合金的比热容c＝0.880×l03J·(Kg·℃)-1，水的比热容c0=4.20×103J·(Kg·℃)-1，不计向周围环境散失的热量。2003年9月四、(20分）从z轴上的O点发射一束电量为q（＞0）、质量为m的带电粒子，它们速度统方向分布在以O点为顶点、z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所示），速度的大小都等于v．试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于z轴上的另一点M，M点离开O点的经离为d．要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值．不计粒子间的相互作用和重力的作用．五、(20分)有一个摆长为l的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O的距离为x处（x＜l）的C点有一固定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡．当l一定而x取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同．现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过O点），然后放手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x的最小值．六、(20分)质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速率v0沿与水平面成a角的方向向前跳跃（如图）．为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出．物块抛出时相对运动员的速度的大小u是给定的，物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动．(1)若运动员在跳远的全过程中的某时刻to把物块沿与x轴负方向成某θ角的方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间．(2)在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿与x轴负方向成θ角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，在什么条件下可跳得最远？并求出运动员跳的最大距离．v0七、（20分）图预20-7-1中A和B是真空中的两块面积很大的平行金属板、加上周期为T的交流电压，在两板间产生交变的匀强电场．己知B板电势为零，A板电势UA随时间变化的规律如图预20-7-2所示，其中UA的最大值为的U0，最小值为一2U0．在图预20-7-1中，虚线MN表示与A、B扳平行等距的一个较小的面，此面到A和B的距离皆为l．在此面所在处，不断地产生电量为q、质量为m的带负电的微粒，各个时刻产生带电微粒的机会均等．这种微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动．设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上不再运动，且其电量同时消失，不影响A、B板的电压．己知上述的T、U0、l，q和m等各量的值正好满足等式20222163TmqUl若在交流电压变化的每个周期T内，平均产主320个上述微粒，试论证在t＝0到t＝T／2这段时间内产主的微粒中，有多少微粒可到达A板（不计重力，不考虑微粒之间的相互作用）。第二十届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案、评分标准一、参考解答（1）右f实倒1。（2）左2f实倒1。评分标准：本题20分，每空2分。二、参考解答波长与频率的关系为c，（1）光子的能量为Eh，（2）由式（1）、（2）可求得产生波长74.8610m谱线的光子的能量194.0910EJ（3）氢原子的能级能量为负值并与量子数n的平方成反比：21nEkn，n1，2，3，…（4）式中k为正的比例常数。氢原子基态的量子数n1，基态能量1E已知，由式（4）可得出1kE（5）把式（5）代入式（4），便可求得氢原子的n2，3，4，5，…各能级的能量，它们是192215.45102EkJ，193212.42103EkJ，194211.36104EkJ，205218.72105EkJ。比较以上数据，发现19424.0910EEEJ。（6）所以，这条谱线是电子从4n的能级跃迁到2n的能级时发出的。评分标准：本题20分。式（3）4分，式（4）4分，式（5）4分，式（6）及结论共8分。三、参考解答1.操作方案：将保温瓶中90.0t℃的热水分若干次倒出来。第一次先倒出一部分，与温度为010.0t℃的构件充分接触，并达到热平衡，构件温度已升高到1t，将这部分温度为1t的水倒掉。再从保温瓶倒出一部分热水，再次与温度为1t的构件充分接触，并达到热平衡，此时构件温度已升高到2t，再将这些温度为2t的水倒掉。然后再从保温瓶中倒出一部分热水来使温度为2t的构件升温……直到最后一次，将剩余的热水全部倒出来与构件接触，达到热平衡。只要每部分水的质量足够小，最终就可使构件的温度达到所要求的值。2.验证计算：例如，将1.200kg热水分5次倒出来，每次倒出0m＝0.240kg，在第一次使热水与构件达到热平衡的过程中，水放热为1001()Qcmtt（1）构件吸热为110()Qcmtt（2）由11QQ及题给的数据，可得1t＝27.1℃（3）同理，第二次倒出0.240kg热水后，可使构件升温到2t＝40.6℃（4）依次计算出1t～5t的数值，分别列在下表中。倒水次数/次12345平衡温度/℃27.140.651.259.566.0可见5t＝66.0℃时，符合要求。附：若将1.200kg热水分4次倒，每次倒出0.300kg，依次算出1t～4t的值，如下表中的数据：倒水次数/次1234平衡温度/℃30.345.5056.865.2由于4t＝65.2℃＜66.0℃，所以如果将热水等分后倒到构件上，则倒出次数不能少于5次。评分标准：本题20分。设计操作方案10分。操作方案应包含两个要点：①将保温瓶中的水分若干次倒到构件上。②倒在构件上的水与构件达到热平衡后，把与构件接触的水倒掉。验证方案10分。使用的验证计算方案可以与参考解答不同，但必需满足两条：①通过计算求出的构件的最终温度不低于66.0℃。②使用的热水总量不超过1.200kg。这两条中任一条不满足都不给这10分。例如，把1.200kg热水分4次倒，每次倒出0.300kg，尽管验算过程中的计算正确，但因构件最终温度低于66.0℃，不能得分。四、参考解答设计的磁场为沿z轴方向的匀强磁场，O点和M点都处于这个磁场中。下面我们根据题意求出这种磁场的磁感应强度的大小。粒子由O点射出就进入了磁场，可将与z轴成角的速度分解成沿磁场方向的分速度Zv和垂直于磁场方向的分速度v（见图预解20-4-1），注意到很vzvvvz小，得cosZvvv（1）sinvvv（2）粒子因具有垂直磁场方向的分速度，在洛仑兹力作用下作圆周运动，以R表示圆周的半径，有2vqBvmR圆周运动的周期2RTv由此得2mTqB（3）可见周期与速度分量v无关。粒子因具有沿磁场方向的分速度，将沿磁场方向作匀速直线运动。由于两种分速度同时存在，粒子将沿磁场方向作螺旋运动，螺旋运动螺距为ZhvTvT（4）由于它们具有相同的v，因而也就具有相同的螺距；又由于这些粒子是从同一点射出的，所以经过整数个螺距（最小是一个螺距）又必定会聚于同一点。只要使OM等于一个螺距或一个螺距的n（整数）倍，由O点射出的粒子绕磁场方向旋转一周（或若干周后）必定会聚于M点，如图20-4-2所示。所以dnh，n＝1，2，3，…（5）由式（3）、（4）、（5）解得2mvnBqd，n＝1，2，3，…（6）这就是所要求磁场的磁感应强度的大小，最小值应取n＝1，所以磁感应强度的最小值为2mvBqd。（7）评分标准：本题20分。磁场方向2分，式（3）、（4）各3分，式（5）5分，求得式（6）给5分，求得式（7）再给2分。五、参考解答摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动，若摆球的质量为m，则摆球受重力mg和摆线拉力T的作用，设在这段时间内任一时刻的速度为v，如图预解20-5所示。用表示此时摆线与重力方向之间的夹角，则有方程式2cosmvTmglx（1）运动过程中机械能守恒，令表示摆线在起始位置时与竖直方向的夹角，取O点为势能零点，则有关系21cos[()cos)]2mglmvmgxlx（2）摆受阻后，如果后来摆球能击中钉子，则必定在某位置时摆线开始松弛，此时T＝0，此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。设在该位置时摆球速度0vv，摆线与竖直线的夹角0，由式（1）得200()cosvglx，（3）代入（2）式，求出02cos3()cos2lxlx（4）要求作斜抛运动的摆球击中C点，则应满足下列关系式：000()sincoslxvt，（5）20001()cossin2lxvtgt（6）利用式（5）和式（6）消去t，得到22000()sin2cosglxv（7）由式（3）、（7）得到03cos3（8）代入式（4），求出(23)3arccos2xll（9）越大，cos越小，x越小，最大值为/2，由此可求得x的最小值：(23)3xl，所以(233)0.464xtl（10）评分标准：本题20分。式（1）1分，式（2）3分，式（3）2分，式（5）、（6）各3分，式（8）3分，式（9）1分，式（10）4分。六、参考解答（1）规定运动员起跳的时刻为0t，设运动员在P点（见图预解20-6）抛出物块，以0t表示运动员到达P点的时刻，则运动员在P点的坐标Px、Py和抛物前的速度v的分量VpxVpyuxuyv0pxv、pyv分别为0cospxvv，（1）00sinpyvvgt（2）00cospxvt，（3）20001sin2pyvtgt（4）设在刚抛出物块后的瞬间，运动员的速度V的分量大小分别为pxV、pyV，物块相对运动员的速度u的分量大小分别为xu、yu，方向分别沿x、负y方向。由动量守恒定律可知()()pxpxxpxMVmVuMmv，（5）()()pypyypyMVmVuMmv（6）因u的方向与x轴负方向的夹角为，故有cosxuu（7）sinyuu（8）解式（1）、（2）、（5）、（6）和式（7）、（8），得0coscospxmuVvMm（9）00sinsinpymuVvgtMm（10）抛出物块后，运动员从P点开始沿新的抛物线运动，其初速度为pxV、pyV。在t时刻（0tt）运动员的速度和位置为xpxVV，（11）0()ypyVVgtt，（12）000()(cos)xxppxmumuxxVttvttMmMm，（13）2001()()2ppyyyVttgtt（14）由式（3）、（4）、（9）、（1