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智浪教育--普惠英才文库一、选择题（每小题5分，共25分）1、若a，b，c是3个不同的正整数，并且abc=16，则ab﹣bc+ca可能的最大值是（）A、249B、253C、263D、2642、已知三个连续的正整数的倒数和等于错误!未找到引用源。．则这三个数之和等于（）A、27B、24C、21D、183、分母是2007的正的最简真分数有（）个．A、675B、1326C、1329D、13324、对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数例如[3.14]=3，[﹣7.59]=﹣8，则关于x的方程[错误!未找到引用源。]=4的整数根有（）A、4个B、3个C、2个D、1个5、如图，已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平．则重叠部分（阴影部分）的面积是（）A、10B、12C、14D、16二、填空题（每小题7分，共35分）6、将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，…．那么，在第2007个拐角处的数是_________．7、在一个3×3的方格表中填有1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数，每格只填一个数．现将每行中放有最大数的格子染成红色，放有最小数的格子染成绿色．设M是红格中的最小数，m是绿格中的最大数．则M﹣m可以取到_________个不同的值．8、如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC，P、Q分别是边AC、AB上的点，且AP=PQ=QB=BC．则∠PCQ=_________．9、化简错误!未找到引用源。的值为_________．10、如图，在长方形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、CD的中点．已知长方形ABCD的面积是40cm2．则四边形MFNP的面积是_________cm2．三、（满分15分）11、已知a、b、c是实数．若错误!未找到引用源。之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为﹣1．四、（满分10分）12、如图，在△ABC中，∠ABC=46°，D是边BC上的一点，DC=AC，∠DAB=21°．试确定∠CAD的度数．五、（满分15分）13、若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和是8的倍数．试确定n的最小值．并说明理由．答案与评分标准一、选择题（每小题5分，共25分）1、若a，b，c是3个不同的正整数，并且abc=16，则ab﹣bc+ca可能的最大值是（）A、249B、253C、263D、264考点：整数问题的综合运用。分析：根据对16求约数可知道，16=1×2×8，对应a、b、c为1、2、8（不计顺序），则最大值是bc最小时求得，bc最小为b=1，c=2或8，剩余两项ab+ca=a+ca要最大，得a=8，c=2，ab﹣bc+ca可能的最大值．解答：解：∵对16求约数可知道，16=1×2×8，对应a、b、c为1、2、8（不计顺序），原式=（ab﹣bc+ca）﹣2bc括号里的值是一定的（不管a．b．c的顺序），则对16求约数可知道，16=1×2×8对应a、b、c为1、2、8（不计顺序），最大值是bc最小时求得，bc最小为b=1，c=2或8，剩余两项ab+ca=a1+ca要最大，得a=8，c=2，最大值=81﹣12+28，=8﹣1+256，=263．故选C．点评：此题主要考查了整数问题的综合运用，根据16的约数得出a，b，c可能的值进而分析得出ab+ca=a1+ca的最大值是解决问题的关键．2、已知三个连续的正整数的倒数和等于错误!未找到引用源。．则这三个数之和等于（）A、27B、24C、21D、18考点：分式方程的应用。分析：由题意设三个连续的正整数为：x﹣1，x，x+1，解得x，从而求进一步求得三个数的和．解答：解：由题意设三个连续的正整数为：x﹣1，x，x+1则错误!未找到引用源。解得x=8所以三个数为7，8，9所以这三个数之和=7+8+9=24．故答案为B．点评：本题考查了分式方程的应用，先设三个连续的正整数，列关系式而解得，从而求得最终答案，比较简单．3、分母是2007的正的最简真分数有（）个．A、675B、1326C、1329D、1332考点：整数问题的综合运用。专题：数字问题。分析：首先把2007分解质因数即2007=1×3×3×223，则3和223的倍数做分子的不是正的最简真分数，所以分母是2007的正的最简真分数2007个分数中减去3和223的倍数做分子的不是正的最简真分数即可．解答：解：2007=1×3×3×223（223，3为2007的质因数），所以分母是2007的所有正的最简真分数为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，…，3和223的倍数不可做分子，而真分数意味着分子小于2007，2007=3×669，2007=223×9（其中223×3，223×6，223×9已在3的倍数中数过），所以去掉的个数为669+9﹣3=675，2007﹣675=1332，所以分母是2007的所有正的最简真分数的个数为1332．故选：D．点评：此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先把2007分解质因数，然后从2007个分数中减去3和223的倍数做分子的不是正的最简真分数即可．4、对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数例如[3.14]=3，[﹣7.59]=﹣8，则关于x的方程[错误!未找到引用源。]=4的整数根有（）A、4个B、3个C、2个D、1个考点：取整函数。专题：计算题。分析：根据取整函数的定义可知，4≤错误!未找到引用源。＜5，解此方程组即可．解答：解：∵[错误!未找到引用源。]=4，∴4≤错误!未找到引用源。＜5，∴错误!未找到引用源。，∴错误!未找到引用源。，即7≤x＜错误!未找到引用源。，故x的正数值为7，8，9．故选B．点评：此题结合不等式组考查了取整函数，根据取整函数的定义列出不等式组是解题的关键．5、如图，已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平．则重叠部分（阴影部分）的面积是（）A、10B、12C、14D、16考点：翻折变换（折叠问题）。分析：结合图形和题意，可知FB=AF，AF=8﹣FB（CF），EB=4，根据勾股定理可以推出CF的长度，即可求出阴影部分的面积．解答：解：∵已知长方形的长为8，宽为4，∴AF=8﹣FB∵FB=AF，∴AF=8﹣CF，∵AC=4，∴在Rt△ACF中，∵CF2=AC2+AF2∴CF=5，∴阴影部分的面积=CF×BF÷2=5×4÷2=10．故选择A．点评：本题主要考察翻转变换的性质、勾股定理、三角形的面积公式，解题的关键在于求出底边CF和高BE的长度．二、填空题（每小题7分，共35分）6、将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，…．那么，在第2007个拐角处的数是1008017．考点：规律型：数字的变化类。专题：规律型。分析：依次得到每个拐弯处的数与第n个拐弯的关系，得到相应规律，代入计算即可．解答：解：第1个拐弯：1+1=2第2个拐弯：1+1+1=3第3个拐弯：1+1+1+2=5第4个拐弯：1+1+1+2+2=1+（1+2）×2=7第5个拐弯：1+1+1+2+2+3=1+（1+2）×2+3=10第6个拐弯：1+1+1+2+2+3+3=1+（1+2+3）×2=13第7个拐弯：1+1+1+2+2+3+3+4=1+（1+2+3）×2+4=17…∵2007=2×1003+1，∴A（2007）=1+（1+2+3+…+1003）×2+1004=1008017故答案为1008017．点评：考查数字的变化规律；得到第n个拐弯处=1+[1+2+3…+（n﹣1）÷2]+（n+1）÷2的规律是解决本题的关键．7、在一个3×3的方格表中填有1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数，每格只填一个数．现将每行中放有最大数的格子染成红色，放有最小数的格子染成绿色．设M是红格中的最小数，m是绿格中的最大数．则M﹣m可以取到8个不同的值．考点：染色问题。分析：三个红色方格中所填的数都是它们所在行中最大的数．因此它们不可能是1与2．又∵M是三个红色方格中最小的数．所以，它不可能为8与9．即M不可能为1，2，8，9．同理，m也不可能为1，2，8，9．这样M与m都介于3与7之间．因此M﹣m介于3﹣7=﹣4与7﹣3=4之间（包括﹣4与4）．解答：解：∵因为M与m分别是红色方格与绿色方格中的数，故M﹣m≠0．∴M﹣m可能有8个不同的值：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4．故M﹣m可以有8个不同的值．故答案为：8．点评：此题主要考查了染色问题，通过3×3的方格表考查了规律型：数字的变化，解题的关键是先得出M与m可能的取值，再依此算出M﹣m可能的取值．8、如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC，P、Q分别是边AC、AB上的点，且AP=PQ=QB=BC．则∠PCQ=30°．考点：等腰三角形的性质。专题：计算题。分析：根据在AC上取点D，使QD=PQ，连接QD、BD，再利用已知得出△BDQ为等边三角形，进而得出x的角度，即可得出答案．解答：解：在AC上取点D，使QD=PQ，连接QD、BD，设∠A=x，则∠QDP=∠QPD=2x，∠BQD=3x，∵DQ=QB，∴∠QBD=90°﹣1.5x，∠BDC=90°﹣0.5x，又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=90°﹣0.5x，∴BD=BC，∴BD=BQ=QD，∴△BDQ为等边三角形，∠QBD=90°﹣1.5x=60°，故x=20°，∴∠ABC=80°，∴∠QCB=50°，∴∠PCQ=80°﹣50°=30°．故答案为：30°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质的理解和掌握，此题的关键是得出△BDQ为等边三角形．9、化简错误!未找到引用源。的值为﹣1．考点：分式的化简求值。分析：首先计算最后两项，提取公因式，然后再计算所得式子的后边的两项，依次计算即可．解答：解：原式=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。（1+错误!未找到引用源。）+错误!未找到引用源。（1+错误!未找到引用源。）（1+错误!未找到引用源。）+（1+错误!未找到引用源。）（1+错误!未找到引用源。）（1+错误!未找到引用源。）（错误!未找到引用源。﹣1﹣错误!未找到引用源。）=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。（1+错误!未找到引用源。）+错误!未找到引用源。（1+错误!未找到引用源。）（1+错误!未找到引用源。）﹣（1+错误!未找到引用源。）（1+错误!未找到引用源。）（1+错误!未找到引用源。）=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。（1+错误!未找到引用源。）+（1+错误!未找到引用源。）（1+错误!未找到引用源。）（错误!未找到引用源。﹣1﹣错误!未找到引用源。）=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。（1+错误!未找到引用源。）﹣（1+错误!未找到引用源。）（1+错误!未找到引用源。）=错误!未找到引用源。﹣（1+错误!未找到引用源。）=﹣1故答案是：﹣1．点评：本题主要考查了分式的化简求值，正确观察式子的特点是解题的关键．10、如图，在长方形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、CD的中点．已知长方形ABCD的面积是40cm2．则四边形MFNP的面积是9cm2．考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质。专题：计算题。分析：由于四边形ABCD是矩形，那么AB=CD，AB∥CD，而易求AE=DG，易证△PDG≌△PEA，从而可知P是DE、AG中点，利用梯形中位线定理可知QF∥AB∥CD，并易证明四边形ABFG、FCDG是矩形，而利用平行线分线段成比例定理的推论，易求QP=错误!未找到引用源。AB，从而有PF=错误!未找到引用源。AB，再利用QF∥AB，可得△AEM∽△FPM，那么AM：MF=AE：PF=3：2，同理DN：NF=3：2，易证MN∥AD，且MN⊥QF，利用S四边形MFNP=错误!未找到引用源。×MN×PF即可求面积．解答：解：如右