初一数学竞赛培训(上)

初一数学竞赛培训第一讲：有理数的巧算方法一：把正、负数分别结合相加例1：计算：－25+29－26+17－33+34方法二：把相加得0的数分别结合相加例2：计算：5117312323141531129=5117)311312323()151429(例3：计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+…+2005+2006-2007-2008+2009方法三：分数相加，凑整相加例4：计算：15.1375.0532413855例5：计算：325312215412414方法四：先适当变形，再结合相加例6：28+19-49-997+9996例7：11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999例8：200920081431321211方法五：巧添辅助数相加例9：641321161814121641641641321161814121或64164)641321161814121(方法六：巧用和逆用乘法分配律例10：625.0675.0)1219141(36例11：)526110132()301(2第二讲有理数的运算要注意什么方法一：乘除做得好，需要讲技巧1.先观察有没有因数“0”2.先定、先写符号3.除法统一成乘法，小数化为分数，带分数化为假分数，然后整体运算4.运用乘法分配律简便运算方法二：混合运算要细心，顺序、符号要分清先看运算顺序：确定先算什么，后算什么，最好每一步用横线标记。其次看运算符号：(1)加减的符号：例：-8-62131(2)乘除的符号：例：)21()2()32()5(6(3)幂的符号：例：4)1(与4142与4)2(一、要注意运算顺序：例1：计算：(1)2)21(212(2))6(121121)6(6(3)24)3(2611(4))3265()1()2(33722008二、要注意运算符号：例2：计算：(1)200922232)1()8.0()32(35.12(2)32222)21()74()75(4)4()4()3()3(三、灵活运用运算律；(1))322()87()12787431((2)722)247()1278543125((3))36(727199)1713(17(4)34.075)13(317234.03213第四讲有理数一、有理数的概念及分类。二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。三、例题示范1、数轴与大小例1.已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？满足条件的点B有多少个？4例2.将9998,19991998,9897,19981997这四个数按由小到大的顺序，用“”连结起来。提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。例1、观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。试确定三个数cabab1,1,1的大小关系。分析：由点B在A右边，知b-a0，而A、B都在原点左边，故abs0,又c10,故要比较cabab1,1,1的大小关系，只要比较分母的大小关系。例2、在有理数a与b(ba)之间找出无数个有理数。提示：P=naba（n为大于是的自然数）注：P的表示方法不是唯一的。2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。例3、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。3、算对与算巧例4、计算123…200020012002提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)项数2。例5、计算1+234+5+678+9+…2000+2001+2002提示：仿例5，造零。结论：2003。例6、计算9999991999999个个个nnn提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n+99…9，99…9=10n1。例7、计算)200213121()2001131211()200113121()2002131211(提示：字母代数，整体化：令200113121,2001131211BA，则例8、计算（1）100991321211；（2）100981421311提示：裂项相消。常用裂项关系式：（1）nmmnnm11；（2）111)1(1nnnn；（3）)11(1)(1mnnmmnn；（4）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn。例9计算n321132112111（n为自然数）例10、计算1+2+22+23+…+22000提示：1、裂项相消：2n=2n+12n；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+22000，则S=2SS=220011。例11、比较200022000164834221S与2的大小。提示：错项相减：计算S21。第五讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与6计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．8这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8999999．例6计算103×97×10009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347．可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．103．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为90+(-1)÷20=89.95．例12计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999