香港物理奥林匹克队培训资料相对论习题

香港物理奥林匹克队培训资料相对论相对论-习题题1用Lorentz变换导出一些著名的相对论结果。(a)动的钟走得慢。将一时钟放在x=0处并处于静止的参照系S内。考虑以下两个事件:事件-1：t1=0时钟长针指在刻度“12“上;事件-2：t2=300秒时钟长针指在刻度“1“上;求在一相对S以速度u运动的参照系S’里事件-1的时间'1t和事件-2的时间'2t。证明)(12'1'2tttt。由于1,'1'2tt总是大于300秒。设2,S’里的人看到自己的钟已过了600秒，而动的钟只走了300秒。动的钟走得慢。(b)动的杆变短。考虑参照系S里一以速度u运动的长杆。在某一时刻t长杆的前后端分别在x1和x2处，所以其长度为x2–x1。在随长杆运动的参照系S’里长杆的前后端总是在'1x和'2x处，因此其长度为'1'2'xxL。证明/'LL，并验证在S’里,这两事件（杆的前端在时刻t时到达x1，杆的后端在时刻t时到达x2)并不是在t’时同时发生的。S’里的人看到S的人没有正确地度量杆的长度：他们没有将动杆的两端位置在同一时刻记录下来。怪不得他们把杆量短了!解:(a)用Lorentz变换，得：2211','tttt,因此)(''1212tttt。(b)在S里，两事件的时空矢为(0,0)和(L,0),Lorentz变换到S’,变成(0,0)和),1(iL，因此,LL'。照S’里的人看，当杆的后端在L处时，时间是cL/，比杆的前端到达x’=0要早。题2(a)证明当两参照系的相对速度与光运动的方向不一致时，量得的光速仍然为c。(b)证明如果xx~)(~,则'~)(~xx。解:(a)考虑S中一光子由(0,0,0)到(csin(t),ccos(t),ict),其中第一二个分量为坐标y,x,第三分量为时间t。S’相对S沿X方向运动。为光子运动方向与X轴的夹角。由Lorentz变换得：)cos1(')(cos'sin'ttctxcty因此,ctctv)cos1(cossin222(b)直接代入就可证明。题3给定入射角，求光在一运动平面镜的反射角。(a)运动速度与镜面垂直;(b)运动速度与镜面平行。(想不想试试运动透镜的折射问题？)解:镜子静止时光的反射角等于入射角。(a)设镜沿Y轴以速度u运动。光的入射角为。忽略Z分量，在实验室参照系里光的波矢4-矢为),cos,sin()/,,(ikkkcikkyx。由Lorentz变换到镜子的参照系，波矢4-矢为)cos1(cossin/'''kikkcikkyx反射后波矢4-矢为：)cos1(cossinkikk变换回实验室参照系,得)cos21(2cos)1(sin/''2222''''kikkcikkyx因此反射角r为,)2cos)1((/sin/tan22''''yxrkk,)cos21(sinsin22r同时可证明22''2''2'')/()()(kckkyx*此题也可用光速分量的变换来解。这里只需证明由速度得到的光的运动方向与由波矢得到的相同。在S里,.cos,sin,cos,sincucukkkkyxyx在沿Y方向以速度v运动的S’里,)(cossin'tan''yxkk(注意这里S’的运动方向与镜子的刚好相反。我们这里考虑的是一通例。)我们需要证明：''''//yxyxuukk从坐标开始：)/('),(','cyttvtyyxx因此dtcucdydtdtdtvuvdtdydydxdxyy)/1()/(',)()(','由此得在S’里，'',''''dtdyudtdxuyx将cos,sincucuyx代如,得)cos1()cos(,)cos1(sin''vcucuyx,'tan)(cossin''''yxyxkkuu。(b)在实验室参照系里光的波矢4-矢为ikkkcossin由Lorentz变换到镜子的参照系，波矢4-矢为)sin1(cos)(sinkikk反射后，波矢4-矢为)sin1(cos)(sinkikk回到实验室参照系S，波矢4-矢为ikkkcossin入射角=反射角仍然成立。题4一动量为p能量为E的粒子与一质量为M的静止粒子碰撞，碰撞后合为一大粒子。求大粒子的质量m和动量p’。解:碰撞前,总动量-能量4-矢为cMcEip/)(,2。碰撞后总动量-能量4-矢为)','(222cmpip.因此，p=p’，22222/ccpMcEm题5如图所示，在一恒星参照系S里两飞船以恒速c迎面飞来。参照系S的人测到，当两飞船到达最近距离d时，飞船-A向飞船-B发了一电波脉冲。(a)为使飞船-B收到，飞船-A上的人（以飞船-A为参照系）应向哪个方向发射脉冲?(b)在恒星参照S里看，飞船-A的脉冲要多久才到达飞船-B?(c)以飞船-B为参照系，当收到脉冲时飞船-A在什么位置?ABAB解:(a)飞船-A测到飞船-B的速度为)1/(22c。位置在她的正上方。脉冲出射角与飞船航向的夹角为(向后),速度为c，得)1/(2cos2.(b)cdcdT/)1/(2，脉冲出射角与飞船航向的夹角(向后)为cos。(c)在参照系S里飞船-A发射脉冲这一事件的时空矢为(-d,0,0)。变换到飞船-B参照系仍是(-d,0,0)。所以当飞船-A发射脉冲时，在飞船-B参照系里两船的垂直距离也是d，飞船-A在她正下方。在参照系S里飞船-B收到脉冲这一事件的时空矢为),,0(TcT，变到飞船-B参照系后为)/,0,0(icT。飞船-B测到飞船-A的速度为)1/(22c，在T/这段时间里飞船-A水平走了)1/(22d.因此总距离为222)1/(41d。题6完成例6.(a)求在S里的磁场.(b)用式（16）求在S’里的电磁场。(c)验证(b)的答案和将S里的电流电荷转换到S’后得到的一样。(d)在S里的导线是中性的，但在S’不是。那末电荷是哪儿来的?(提示:将S里的中性导线看成由静止的负电荷和速度V运动的正电荷组成。转到S’里使正电荷静止。还记得动杆变短吗？)解:(a)ˆ20rIB.(b)ˆ2'ˆ2ˆ'0',0'00////rIBBBrrIuruBBuEEB(c)电流电荷转换到S’后电流为I，因此而得到的磁场与(b)的相同。电荷密度为cI/，由高斯定理得电场。(d)在S里正负电荷密度相等。但由于正电荷是动的，转到正电荷不动的S’后，长度变长，电荷密度变小（成为最小），而负电荷现在动了，长度变短，电荷密度变大，因此在S’里有负的总电荷密度。rrIuELcIrLEˆ2/200