高中数学竞赛专题讲座---复数

复数专题一复数与数列复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．例1设数列,,,,21nzzz是首项为48，公比为)26(41i的等比复数列．（1）求4z．（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成,,,,21naaa，试求3a．（3）求无穷级数naaa21的和．解：（1）)6sin6(cos21)26(41iir．irz2124834．（2）使r为实数的最小自然数是6，数列,,,,21naaa是首项为48，公比为6r的等比数列．所以433a．（3）这个级数是公比816r的无穷等比级数，从而和3128)81(148．例2今定义复数列,,,,21naaa如下，nnkaaaiaia1121,31,1（)2n，k为正的常数．问复数na的辐角的正切与哪一个值最接近？（当n时）分析：寻求na的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．解：1na的辐角记作，212111)1(akkkakaaannnn．（1）当1k时，innaanan)31()1(211，所以)(131tannnn．（2）当1k时，211111)1(akkkaannnkkkkknnn13)13(1111∴)()10(1)1(13313)13(1tan1nkkkkkkknnn．例3（1）设在复数列,,,,10nzzz之间有如下关系：),3,2,1)((11nzzzznnnn，其中)1(是常复数．当1,010zz时，试将nz的值用表示．（2）若（1）中的i31，求在圆10||z（z是复数）的内部总共含有nz的个数．解：（1）)(0112zzzz,21223)(zzzz……1211)(nnnnnzzzz于是，从1得，11nnz．yxO0P1P2PyxO)(zA)(B)(zC（2）)3sin3(cos231ii，所以)3sin3(cos2ninnn,要使nz在圆10||z的内部，它的充分必要条件是10,z，∴100||2nz．即100nnzz，而)23cos21(3121nnnnnzz，∴100)23cos21(3121nnn．又nnn2123cos21221)21(221nnn，能适合300)21(2n的n只是4,3,2,1,0．在逐个验证这五个点确信都在圆10||z的内部，故符合条件的点共有5个．例4设平面上有点,,10PP，如图所示，其中，线段,,,21100PPPPOP，的长成首项为1，公比为r的等比数列．（1）若10r，则当n时，nP与哪一点无限接近？（2）将（1）中的极限点用Q表示．若固定21r而变动时，点Q所描述的是怎样的曲线？解：（1）)sin(cosir，此时，若将表示点nP的复数记作nz，则有nnnzz1，其中1z就是原点O．于是)1(11112nnnz．|1||1||||11|11nnnrz,因此，若10r，令n，则0|11|nz，nz所表示的点与11所表示的点最靠近．（2）11z，则有zz1，21r固定，做变动，点总在以原点为圆心的圆周上．但因21||，故有2|1|||zz．于是当点在以原点为中心，21为半径的圆上，点11相应的在以点34为圆心，32为半径的圆上．例5设在复平面上:（1）原点为O，表示复数Z的点为A，点B由||||OAkAB，OAAB,的交角为所确定。试求表示点B的复数。这里k是实数。（2）点列,,,,,210nAAAA由下述方式确定：0A取)0,0(，1A取)0,1(，),3,2,1(1nAn由||2||11nnnnAAAA，以及nnnnAAAA11,的夹角所定义。试求被表示为nA复数nz。（3）若（2）中，2，且记12311nzzzS，nzzzS2422，将212iSS化简。解：（1）将表示B的复数记作，则对有关系ABOC的点C表示为复数，就是z，从而)sin(cosikzz，所以zikk]sin)cos1[(。（2）OQAAOPAAnnnn11,所表示的点QP,，则用复数分别表示为nnnnzzzz11,。由POQ，推出nnzz12)sin)(cos(1izznn，因此，数列}{1nnzz是首项为10101zz，公比为)sin(cos2i的等比数列。所以1nnzz11)sin(cos2nni（n是正整数）。所以)sin(cos21)sin(cos21ininznn。（3）数列}{},{212kkzz仍为等比数列，故可求得niiSS212。专题二复数与几何1.有关轨迹问题：例1已知一圆B及圆外一点A，在圆上任取一点Q，以AQ为边按逆时针作正三角形AQP，求点P的轨迹.解：如图：建立复平面，设aAB，圆B半径为r.P、Q分别对应复数为1,zz，则raz1.令3sin3cos0iz，3QAP，01,01zzzzzz.故razz0,rzrazz00.故点P的轨迹是圆，圆心对应的复数为0az，即iaa232，半径为r.例2已知复数2121,,zzzz在复平面上分别对应点A、B、C，O为复平面的原点.(1)若iz21231，向量OA逆时针旋转90，模变为原来的2倍后与向量OC重合，求2z；（2）若)(22121zzzz，试判断四边形OACB的形状.解：向量OA逆时针旋转90，模变为原来的2倍所得的向量对应的复数为iz21，而OC对应的复数为21zz，故21zz=iz21.故)21(12izz)21)(2123(ii整理可得：iz21322322.(2))(22121zzzz,OCBA.又四边形OACB为平行四边形，四边形OACB为菱形.2.复数的模与辐角求复数的辐角主值常有两种方法：(1)利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解.(2)根据复数的几何意义，将问题转化为几何问题求解.例3设复数z满足1z,求复数2z的辐角主值的最大值与最小值。解：1z可设)20(sincosiz,sin2cos2iz.设az)2arg(,由于,1sin1,02cos故232a.令,2cossintgay则可先求出y的最值。由,2cossin,sin2cosyyyy得)(2)sin(12ytgyy其中,1)sin(,212yy,yxoCA即,3333,1422yyy3333tga,故67)2arg(,65)2arg(maxminzz.方法二:由1z，知z对应的点Z在单位圆122yx上，设A（2，0），根据复数减法的几何意义，复数2z对应的向量是AZ.（如图），当射线AZ是圆O的切线时，2z对应的向量分别为21AZAZ和，其中Z1，Z2为切点.连接OZ1，则11AZOZ，可知1OAZ为直角三角形.由2,11OAOZ,故67)2arg(,65)2arg(maxminzz例4设,,1z12CzzzzA求A中辐角主值最大的复数z.解：12z满足的点在以)0,2(为圆心，以1为半径的圆内（包括圆周），满足1z的点在单位圆内，（包括圆周），A对应如图两圆共同部分.A中辐角主值最大的复数P点对应的复数iiz222245sin45cos例5若czz21,,求证：21211zzzz成立的充分必要条件是21zz、中至少有一个是1.证：必要性：212211zzzz,2212211zzzz,故有2121212111zzzzzzzz.根据互为共轭的复数间关系有：)1)(1(21212121zzzzzzzz.化简整理得：212122111zzzzzzzz222122211zzzz,0112221zz,1z、2z至少有一个为1。充分性：以上过程均可逆。结论成立。常用到的与复数的模相关的结论：（1）22||||zzzz（2）||||||2121zzzz)(||||Nnzznn（3）)0(||||||22121zzzzz（4）||||||||||||212121zzzzzz.（5）)(|||||,|||biazzbzzaz,.||2||2||||2221221221zzzzzz例6某草场上有宝.取宝法如下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树，记住步数，向右拐90走同样多步打个桩.然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐90走同样多步，又打一个桩.在这两个桩正中挖掘，可以得宝。年久日长，草场上绞架已经风化，渺无踪迹，但是橡、松二树犹存.问应如何取宝.解：取草场为复平面，以两棵树所在的直线为实轴，以两棵树连线的中点为原点O，建立如图所示的坐标系，设A、B为橡、松二树，其坐标分别为（-1，0），（1，0）.令点Z表示绞架，Z1、Z2、Z0分别表示第一个桩、第二个桩以及两桩的中点.他们对应的复数分别表示为z,z1,z2,z0.Z1Z2AxoZyZAZ1Z2XOBy由复数减法的几何意义，知1AZ对应的复数为11z；1BZ对应的复数为12z.依照乘法的几何几何意义，知1AZ可由AZ逆时针旋转90得到.izz)1(11,即izz)1(11同理,izz)1(12,其中点Z0对应的复数为izzz2210.即Z0为虚轴上的点i.∴不论绞架位置在哪儿，宝的位置总对应虚轴上相应于复数为的那一点，故宝可取.例7某人在宽大的大草原上自由漫步，突发如下想法：向某一方向走1km后向左转30，后向前走1km后向左转30，如此下去，能回到出发点吗？解：以出发点作为坐标原点O，走第一个1km时所沿的直线作为Ox轴，建立如图所示的复平面.∴第一个1km的终点A对应的复数是1，第二个1km的终点B对应的复数是1+(30sin30cosi)，第三个1km的终点C对应的复数是1+(30sin30cosi)+(60sin60cosi).如此下去，走第n个1km时所达到的点对应的复数是1+(30sin30cosi)+(60sin60cosi)+30)1sin(30)1cos(nin，即1+(30sin30cosi)+(30sin30cosi)2+1)30sin30(cosni=)30sin30(cos1)30sin30(cos1iin当n=12时，上述复数为0，即可回到出发点。专题三复数与方程1.n次方程一定有n个复数根．例1求1nz的根．解：设)sin(cosirz，根据隶莫佛定理，1)sin(cosninrn，从而方程的根是nin2sin2cos（,3,2,1,0n）．注：这n个根的模都等于1，它的辐角按n2增加，由此可见，这n个根均位于单位圆上把圆周作了n等分．例2设在1的立方根中，记其中不等于1的一个根为，问12的值是多少？再问，当n是整数时，13n的值是多少？解：0