初中数学竞赛精品标准教程及练习67：参数法证平几

初中数学竞赛精品标准教程及练习(67)参数法证平几一、内容提要1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.2.有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.二、例题例1如图已知：AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD⊥AB于D，⊙N与⊙O内切且与AB、CD分别切于E，F.求证：AC=AE.分析：选取两圆半径为参数，通过半径联系AC，AE的关系.证明：设⊙O，⊙N半径分别为R和r，连接ON，NE.根据勾股定理：OE=22)-(Rrr=rR2-R2，AE=OA＋OE＝R+rR2-R2；OD=OE－r=rR2-R2－r，AD=OA＋OD＝R+rR2-R2－r根据射影定理AC2=AD×AB=(R+rR2-R2－r)×2R=2R2+2RrR2-R2－2Rr=R2+2RrR2-R2+(R2－2Rr)=(R+rR2-R2)2∴AC=R+rR2-R2.∴AC=AE例2.已知：△ABC的内切圆I和边AB，BC，CA分别切于D，E，F，AC×BC＝2AD×DB.求证：∠C＝Rt∠.证明：设AD＝x,则DB＝c－x.代入AC×BC＝2AD×DB.得ab=2x(c－x).2x2－2cx+ab=0.∴x=4222abcc=222abcc,又根据切线长定理得x＝2abc，∴222abcc＝2abc.ABCNDEOFxbaCCBAIDEFc2－2ab=a2－2ab+b2.∴c2=a2+b2.∴∠C＝Rt∠.例3.已知：等边三角形ABC中，P是中位线DE上一点，BP，CP的延长线分别交AC于F，交AB于G.求证：BC3CF1BG1＝＋.证明：设△ABC边长为a,PD＝m,PE=n,BG=x,CF=y.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝21BC.∴)2(2)1(2yayanxaxam（1）＋（2）：yayxaxanm22.∴yaxa212121，23)11(2yxa，∴ayx311.∴BC3CF1BG1＝＋.例4.已知：如图四边形ABCD中，过点B的直线交AC于M，交CD于N，且CDCNACAM＝S△ABC∶S△ABD∶S△BCD＝1∶3∶4.求证：M，N平分AC和CD.证明：设S△ABC＝1，则S△ABD＝3，S△BCD＝4，S△ACD＝3＋4－1＝6.设CDCNACAM＝＝k(0k1).连结AN.根据高相等的三角形面积的比等于底的比，得k＝＝△△CDCNSSACDACN，∴S△ACN＝6k；kS＝＝△△ACAMSACNAMN,∴S△AMN＝6k×k＝6k2；mnPABCDEFGjMABCDNk＝＝△△CDCNSSBCDBCN,∴S△BCN＝4k；k＝＝△△ACAMSSABCABM,∴S△ABM＝k；S△BMC＝1－k.∵S△ACN－S△AMN＝S△MNC＝S△BCN－S△BMC∴6k－6k2=4k－(1－k).6k2－k－1=0.∴k=21；或k=31.(k=31.不合题意，舍去.)∴CDCNACAM＝＝k=21.∴AM＝MC，CN＝ND.即M，N平分AC和CD.例5.已知：如图△ABC中，AD是高，AB＋DC＝AC＋BD.求证：AB＝AC.证明：设AB＝c，AC＝b,BD=m,DC=n.根据勾股定理得.2222mbncmcnb；.))(())((nbmcmcmcnbnb；.mncbmcnb；.cbmnbcmn；∴c－b=b－c，b=c.即AB＝AC.例6.如图已知：一条直线截△ABC三边AB，BC，AC或延长线于D，E，F.求证：1FACFECBEDBAD＝（曼奈拉斯定理）证明：设∠BDE＝α，∠DEB＝β，∠F＝γ.根据正弦定理：在△BDE中，SinDBinSBESinSinDBBE；在△CEF中，SinECSinCFSinSinECCF；在△ADF中，)180(SinFASinAD)180(SinSinFAAD.βγβαEABCFDjMABCDNnmbcABCD∵Sin(180)=Sinα.∴＝FAADECCFDBBE.SinSin×SinSin×1)180(＝SinSin.即1FACFECBEDBAD＝.三、练习671.已知：如图三条弦AB，CD，EF两两相交于G，H，I.IA＝GD＝HE，IC＝GF＝HB.求证：△GHI是等边三角形.2.已知：在矩形ABCD中，AP⊥BD于P，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F.求证：PA3＝PE×PF×BD3.已知：△ABC的两条高AD，BE相交于H，求证：过A，B，H三点的圆与过A，C，H三点的圆是等圆.4.已知：AB是⊙O的直径，P是半圆上的一点，PC⊥AB于C，以PC为半径的⊙P交⊙O于D，E.求证：DE平分PC.5.已知：△ABC的两条高AD和BE相交于P，且AD＝BC，F是BC的中点.求证：PD＋PF＝21BC6.已知：平行四边形ABCD中，∠A＜∠B，AC2×BD2＝AB4＋AD4.求证：∠A＝31∠B.7.求证：四边形内切圆的圆心，它到一组对角的顶点的距离的平方的比，等于该组角的两边的乘积的比.8.已知：AB是⊙O的直径，E是半圆上的一点，过点E作⊙O的切线和过A，B的⊙O的两条切线分别相交于D，C，四边形ABCD的对角线AC，BD交于F，EF的延长线交AB于H.求证：EF=FH.9.已知：如图⊙M和⊙N相交于A，B，公共弦AB的延长线交两条外公切线于P，Q.求证：PA=QB；PQ2=AB2+CD2.10.已知：正方形ABCD内一点P，满足等式PA∶PB∶PC＝1∶2∶3.求证：∠APB＝135.11.一个直角三角形斜边为c,内切圆半径是r,求内切圆面积与直角三角形面积的比.（提示：引入参数a和b表示两直角边）IGHAEFBCDBAMNFEQCPD练习67参考答案：1.设IA＝a,IC＝b,IH＝x,HQ＝y用相交弦定理列方程组.2.引入参数α，设∠DBC＝α，PA2＝PB×PD＝CosPFinSPE…3.设∠ABH＝∠ACH＝α，用AH∶Sinα表示两圆的半径.4.设DF＝m,FE=n,PF=x,FC=y,⊙P的半径为r,由相交弦定理，得mn=x(y+r)=y(x+r)6.设AB＝a,AD=b,AC=p,D=q(qp),则44222222)(2baqpbaqpCosA=abqba2222……=22，∠A＝45度.7.设AB=a,BC=b.CD=c,DA=d,OA=x,OC=y，OD=u,OB=v,yvxubd＝△△BOCAODSS，同理yuxvcb8.设EF=x,FH=y,DA=DE=a,CB=CE=b,可证EF∥BCbaabx，abbay9.设PA＝PC＝PD＝x，QB＝QE＝QF＝y,AB=a，CD＝EF由切割线定理可知x=y,PQ2=(2x+a)2=4x2+4xa+a2=4x(x+a)+a2=4PA×PB+AB2=4PC2+AB2=422CD）（+AB2=AB2+CD211.rcr