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初中数学竞赛专题选讲（初三.22）辅助圆一、内容提要1.经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2.经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理：①到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义).②一组对角互补的四边形顶点在同一圆上.③一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆.④同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3.画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：①同弧所对的圆周角相等.②圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.③圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系.④圆中成比例线段定理：相交弦定理，切割线定理.4.证明型如ab+cd=m2常用切割线定理二、例题例1.已知：点O是△ABC的外心，BE，CD是高.求证：AO⊥DE证明：延长AO交△ABC的外接圆于F，连接BF.∵O是△ABC的外心∴AF是△ABC外接圆的直径，∠ABF=Rt∠.∵BE，CD是高，∠BDC=∠CEB=Rt∠.∴B，C，E，D四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)∴∠ADE=∠ECB=∠F.∴∠AGD=∠ABF=Rt∠，即AO⊥DE.例2.正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内的一点，且∠OPB=45，GOCBADFEPA∶PB=5∶14，则PB=____cm.解：∵∠OPB=∠OAB=45∴ABOP四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆)∴∠APB=∠AOB=Rt∠.在Rt△APB中，设PA为5x，则PB是14x.∴(5x)2+(14x)2=1989.解得x=3,14x.＝42.∴PB=42(cm).例3.已知：平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，AF⊥BC于F.求证：AB×AE+CB×CF=AC2.证明：作BG⊥AC交AC于G.∵CE⊥AB，AF⊥BC.∴A，F，B，G和B，E，C，G分别共圆.(对角互补的四边形顶点共圆)根据切割线定理，得AB×AE=AG×ACCB×CF=CG×AC∴AB×AE+CB×CF=AC(AG+CG)=AC2.例4.已知：AD是Rt△ABC斜边的高，角平分线BE交AD于F.求证：AE2=AB2－BE×BF.分析：根据同角的余角相等，可证AE=AF.由射影定理AB2=BD×BC.故只要证AE×AF＝BD×BC－BE×BF创造应用切割线定理的条件，作△ABC的外接圆并延长BE交圆于G，得F、D、C、G四点共圆.∴BD×BC=BF×BG.∴右边=BF×BG.－BE×BF=BF(BG－BE)=BF×EGBDCAOPBDAECFGFABCDEG从而转为要证AE×AF=BF×BG.即AFEGBFAE只要证△AEG∽△BFA……(证明由同学自已完成)例5已知：从⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB切点A和B，在AB上任取一点C，经过点C作OC的垂线交PA于M，交PB于N.求证：OM=ON.证明：连结OA，OB.∵A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB.又∵OC⊥MN.∴A，M，C，O和B，N，O，C分别共圆.(辅助圆可以不画)根据同弧所对的圆周角相等，得∠OAC=∠OMC，∠ONC=∠OBC.∵OA=OB，∴∠OAC=∠OBC.∴∠OMC=∠ONC，∴OM=ON.lOJPABCMN