初中数学竞赛专题选讲-面积法

初中数学竞赛专题选讲面积法一、内容提要1.因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。2.面积公式（略）3.两个三角形的面积比定理①等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比②有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比③相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方④有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）。如图△ABC和△ADC有公共边AC，M内分BD第三顶点连线BD被公共边AC内分或外分于点M，则MDBMSADCABC＝△△SM外分BD定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题例1.求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD中，∠DAC＝30求证：AB2＝AC×BD证明：作高DE，∵∠DAE＝30∴DE＝21AD＝21ABS菱形ABCD＝AB×DE＝21AB2S菱形ABCD＝AC×BD，∴AB2＝AC×BDABCDMABCDMABCDMABCDMABCDE例2.求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：△ABC中，AB＝BC＝AC，D是形内任一点，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E，F，G是垂足求证：DE＋DF＋DG是一个定值证明：连结DA，DB，DC，设边长为a,S△ABC＝S△DBC＋S△DCA＋S△DAB21aha＝21a（DE＋DF＋DG）∴DE＋DF＋DG＝ha∵等边三角形的高ha是一个定值，∴DE＋DF＋DG是一个定值本题可推广到任意正n边形,其定值是边心距的n倍例3.已知：△ABC中，31CACFBCBEABAD求：ABCDEFS△△S的值解：∵△ADF和△ABC有公共角A∴ABCADFS△△S＝ACABAFAD＝ACABAC32AB31＝92，同理92SABCBED＝△△S，ABCCFESS　△△＝92，∴ABCDEFS△△S＝31（本题可推广到：当mABAD1，nBCBE1，CACFp1时，ABCDEFS△△S＝mnpnpmpmnpnmmnp）例4.如图Rt△ABC被斜边上的高CD和直角平分线CE分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x。解：∵CE平分∠ACB，∴CBCACECBCECAx630SCEBCAE＝△△S∵CD是Rt△ABC的高∴△CAD∽△BCD，∴2)(630CBCAxABCDEFGABCDEFABCDE630x∴2)630(630xx解得x1=4,x2=9(两解都适合)例5.设一直线截△ABC三边AB，BC，CA或延长线于D，E，F那么1FACFECBEDBAD（梅涅劳斯Menelaus定理）证明：连结AE，根据三角形面积比定理④得DBADSBEFAEF＝△△SCEBESSCEFBEF＝△△FACFSSAEFCEF＝△△∴FACFECBEDBADBEFAEFS△△S×CEFBEFSS△△×AEFCEFS△△S＝1例6.已知MN是△ABC的中位线，P在MN上，BP，CP交对边于D，E求证1DCADBEAE证明：连结并延长AP交BC于F，则AP＝PF∴S△CPA＝S△CPF，S△BPA＝S△BPF1SSSSSSBPCBPFCPFBPCBPABPCCPA＝＋＝＋△△△△△△△SDCADBEAE例7.如图已知：△ABC中，∠ABC＝Rt∠，AC＝2AB，△ACM和△BCN都是等边三角形求证：MN被AC平分证明：连结AN，∵△ABC中∠ABC＝Rt∠，AC＝2AB∴∠ACB=30∴∠CAN=90∠BCM＝90∴S△ACM＝21ba,S△CAN=21ab∴S△ACM＝S△CAN，∵△ACM，△CAN有公共边AC，∴MK＝KN三、练习1.如图△ABC面积是96，D分BC为2∶1，E分AB为3∶1则△ADE面积是＿＿＿ABCDFEABCNMPDEFABCDE606030bb　a　aKABCMN2.几条直线都平行于三角形的同一边，并分其它两边为10个相等的线段，同时把三角形分成10个不同的部分，已知这些部分中最大的面积是38，那么原三角形的面积是＿＿＿＿3.△ABC三边a,b,c上的高分别是ha=6,hb=4,hc=3,那么a∶b∶c=＿＿＿＿4.S正方形ABCD＝k,M，N分别是边AB，BC的中点AN，CM相交于O，那么S四边形AOCD＝＿＿＿5.平行四边形ABCD中，E分AB为1∶2，F分BC为2∶1，DE和AF交于G，那么AGDAEGS△△S＝＿＿＿6.如图平行四边形ABCD中P，Q分别是BC，CD的中点，写出和△ABP等积的三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿（1985年福建省初中数学联赛题）（5）（6）7.已知：△ABC中AB＝10，D，E分别在边AB，AC上，且在DE∥BC，S△ADE∶S△BDC＝2，求ABCADES△△S8.如图经过△ABC内一点O，与各顶点A，B，C的直线，把三角形分成6个小三角形，其中的4个面积已标在图中，求△ABC的面积9.如图已知：平行四边形ABCD中，AE＝CF，AE，CF交于G求证：∠AGB＝∠BGC10.已知：△ABC中，O是形内任一点，AO，BO，CO延长线交对边于D，E，F求证：①1CFOFBEOEADOD②ODAOFBAFECAEABCMNOD4BCDAEFGBCDAPQABCDEFO30358440xyABCDEFG11.如图已知：AC平分∠BAD，AC2＝AB×AD求证：EDBECDBC2212.如图已知：△ABC中，P，Q在BC上，且∠BAP＝∠CAQ求证：AB＝AC（1986年全国初中数学联赛题）13.△ABC内一点P，过P作三边的平行线，所得的小三角形面积分别为4，9，49那么△ABC面积是多少？14.△ABC中，点D，E，F分别分BC，CA，AB为1∶2，AD，BE，CF相交于P，Q，R求△PQR与△ABC的面积比15.梯形ABCD中AB∥CD，O是对角线的交点，若S△COD＝3，S△AOB＝11求S梯形ABCD(1989年泉州市初二数学双基赛题)16.四边形ABCD的对角线AC＝BD＝15cm，O是交点，∠AOB＝150，求SABCD(1988年泉州市初二数学双基赛题)17.四边形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，DF∶FC＝1，CE∶EB＝2，若S△ADF＝m，S四边形AECF＝n(mn),则S四边形ABCD＝＿＿＿（1989年全国初中数学联赛题）练习题参考答案ABCDEFOABCDEABCDEIJMNP449913ABCDEFRQP14ABCDO31115ABCDO15016ABCDFEmn171.482.2003.2∶3∶44.32k5.926.有五个7.4－238.3159.由等积等底推出等高证全等10.①左边＝ABCAOBABCAOCABCBOCSSSSS△△△△△△＋＋S＝1②边＝COBCOACOBAOBSSS△△△△＋S＝…右边＝DOCAOCDOBAOBSSSS△△△△＝＝……6.△ABC∽△ACD用三角形面积比③和④7.S△ABP＝S△ACQ，AB×AP＝AC×AQ，APAQACAB，△ABQ∽△ACP…8.三个三角形都相似，……14414.7115.设S△AOD＝S△BOC＝x，x=336.作AM⊥BD，CN⊥BD，M，N是垂足，AM＋AN＝21AC……7.mn2123，(连结AC，S△ACF＝m,S△ACE＝n-m……)[文章来源：教师之家转载请保留出处][相关优质课视频请访问：教学视频网]