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初中数学竞赛专题选讲(初三.12)列表法一、内容提要只要有可能，依题意画个图或列个表给问题以直观的描述，对解题大有好处.因为图表常能把数据的题设和结论之间的相互关系，有条不紊地形象表达出来，特别是纵横关系较多的问题，利用图表，不仅便于思考答题方案，还可以作为答题的步骤.图解已在枚举法，交集法等处介绍过，本讲主要介绍表解.使用表解的关键是合理地设计纵横栏目.其前提是正确地理解题意，明确各条件之间的从属、并列、交叉关系.数学逻辑推理有一个最基本的定律，就是排中律，即“不是真，必为假”，“不是假，便是真”，列表推理就是把诸多数据按题目条件，逐一填入表中，当发现与题设矛盾时就排除，在排除淘汰的基础上，推出满足所有条件的结论.二、例题例1.n为正整数，试证2n+7n+2能被5整除.解：n分别取1，2，3，4时，观察2n+7n+2的个位数字情况如下：n12342n的个位数24867n+2的个位数31792n+7n+2的个位数5555并且∵24k+n与2n；74k+(n+2)与7n+2(k为整数)的个位数字相同.∴n不论取什么自然数值，2n+7n+2均能被5整除..例2.小张步行每小时走10里，骑车每小时走30里，他从甲地到乙地步行和骑车走了同样长的路程；然后沿着同一条路从乙地返回甲地，这次步行和骑车走了同样多的时间，结果返回时比去时少用了40分钟.求甲、乙两地的距离及从乙到甲所用的时间.解：设甲乙两地的距离为x里，从乙到甲所用的时间是y小时.列表如下：根据题意，得xyyyxx23021032302102解这个方程组，得240yx答：甲乙两地的距离为40里，从乙返甲用了2小时.例3.从1到10这十个自然数中，每次取两个，要使它们的和大于10，共有几种取法？试列表统计.解：有两种列表法：由大数取小数或以小数取大数较大数较小数取法种数101，2，3，4，5，6，7，8，9，992，3，4，5，6，7，8，783，4，5，6，7，574，5，6，365，1∴共有9+7+5+3+1=25种取法.从甲到乙从乙到甲Sx21里x21里x里VV步=10时里V车=30时里V步=10时里V甲=30时里Ty+32(时)时2y时2y较小数较大数取法种数110,1210，9,2310，9，8,3410，9，8，7,4510，9，8，7，6，5610，9，8，7，4710，9，8，3810，9，2910,1共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法.例4.A，B，C，D，E五个人，每人头上戴一顶帽子，只有红或白两种颜色中的一种.他们看见别人所戴的帽子颜色，分别说了以下的话：A说：我看到的是3白1红；B说：我看到的是4红；C说：我看到的是1白3红；E说：我看到的是4白.已知戴白帽子的人说真话，而戴红帽子的人说假话.试判断A，B，C，D，E各戴什么颜色的帽子.解：先由易到难，用否定判断法：若E说了真话，则共有5白，即大家都说了真话，这与其他人所说内容相矛盾，所以E必是戴红帽；若A说了真话，则共有4白1红，那么除A、E以外，还有2人说真话，就是B、C也说真话，这也不可能，所以A也戴红帽；在确定A、E之后，我们把B、C说真话或假话的情况列表来判断：ABCDE设B说真话红白红设C说真话红红白白红若B说真话，则C、D都为红(∵B看到的是4红)，那么C应是说假话，但C说1白3红却是真的，所以矛盾，B没有说真话，应是戴红帽.最后，C确实说了真话(看到1白3红).这时可知D是戴白帽.∴A，B，C，D，E所戴帽子的颜色分别是：红，红，白，白，红.三、练习1.用列表法,求不等式(2x+1)(x－2)(x－3)0的解集当x取值为x－21－21x22x3x32x+1的符号－＋x－2的符号x－3的符号(2x+1)(x－2)(x－3)的符号∴不等式(2x+10(x－2)(x－3)0的解集是_____________或____________2.n为自然数,3n与7n的和或差必有一个能被10整除.试证之，并说明n取什么值时，其和能被10整除.3.若自然数a不是2和3的倍数，试证a2+23能被24整除.4.原计划在一定时间内插秧152亩，实际工作时，每天比原计划多插2亩，结果比原计划提前3天并超额完成8亩.问原计划每天插秧几亩？5.甲，乙两人接受同样的任务，开始时乙比甲每天少做4件，做到两人都剩下624件时，乙比甲多用了2天.此后乙改进技术，每天比原来多做6件，这样两人在同一时间内定成任务.求甲、乙两人的工作效率.6.A，B，C，D，E，F六个球队，进行单循环比赛（每队都要与其他各队各比赛一场），经过一段时间询问了A，B，C，D，E五个队，结果是他们都参加了比赛，并且比赛的场数各不相同，问未查询的F队比赛了几场？7.甲，乙，丙三人参加高考后，甲说：我一定考上重点大学.乙说：重点大学我考不上.丙说：我考上大学是没有问题的.发榜后，这三人中有一人考上重点天学，一人考上一般大学，一人落选.对他们的预言，只有一人正确.试判断甲，乙，丙的录取情况.8.甲，乙，丙三同学，来自初三①，②③班各一人，参加语、数、英兴趣小组各一项.已知甲不是①班的，乙不在②班，在①班的不参加数学组，在②班的参加英语组，乙不参加语文组.问丙是哪个班？参加什么组？9.甲，乙，丙，丁四人参加数学竞赛，得了前四名，三位同学在议论名次.A说：甲第一，乙第二；B说：甲第二，丁第四；C说：丙第二，丁第三.结果他们各对了一半.问甲，乙，丙，丁的正确名次是多少？10.一次校运会，小王，小林，小江三人包揽了五个项目的前三名，小王共得22分，小林，小江各得9分，每项目的一，二，三名得分，分别是5，2，1分，并知小江得铅球第一名.试问他们各得几个第一名，第二名，第三名？11.四位外国朋友，他们都会说英、法、日、汉四种语言中的2种，有一种语言三个人会说，但没有一种大家都会说的语言.还知道：①A会讲日语，D却不会，但他们用同一种语言交谈；②B不会讲英语，当A、C交谈时，他当翻译；③B、C、D三人谈时，没有一种共同的语言；④四人中没有一人既会讲日语，又会讲法语.试问A，B，C，D四人各会讲何种语言.参考答案2.列表n=1,2,3,4(仿例13.已知可表示为6k±14.8亩5.24，206.3场（仿例3）7.甲落选，乙重点，丙一般8.丙是（1）班学生，参加语文组9.甲，乙，丙，丁分别是1，3，2，4.10.王（4个一，1个二）；江（1个一，4个三）；林（4个二，1个三）.11.用1表示会说，0表示不会说该种语言，答案列表如右：项目ABCD英语0011法语0110日语1000汉语1101