第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答

第十六届北京市数学竞赛试题答案（甲、乙组）一、填空（20分）1．1)0(,)1(2yeyxyxyx，且axxxyx20)(lim，则__________a.解由axxxyx20)(lim，得0)0(y，利用方程，得2)0(y，得1a.2．))(()(bxaxbexfx，ex为无穷间断点，1x为可去间断点，则__________b.e解))(1()(bxxbexfx3.,),0(,)0,(,),,(22yyfxxfyxyxzyxfz则__________),(yxf.解__________),(yxfyxxyyx2222.4.,)2()2()2(222dzxyzdyxzydxyzxdu则__________),,(zyxu.解Cxyzzyxzyxu23__________),,(3335.,)(13)(1022dxxfxxxf则__________)(xf.解,13)(2xkxxf其中1022)13(dxxkxk,得kkkdxxkxxkdxxkxk2329)16)9(()13(22102221022,得,2992kk得23,3439472819k.6.22222._________)cos(1lim20ryxyxrdxdyyxer解.7.,4)cos1)(1ln(121lim0xxfxx则.__________)(lim30xxfx解2ln28.,)1(,)()(afxxfxf则.__________)2(f解.2)2(,)(,)1(,)(,1)(/)(afaxxfafcxxfxxfxf9.14:22yxL,周长为l,则.__________)2(2dsyxL解l410.设,0x或,1x则级数1))1(21)(1()21)()1(1(lnnxnnxnxxn的和为_______.解1))1(21)(1()21)()1(1(lnnxnnxnxxn=.2ln211lim))21()1(ln))1(21())1(1((ln1nxnxnxnxxnxnnn.二、)(xf存在，且,cos6sin4cos)(23Cxxxxxdxxfx求)(xf.解xxxxxxxxxfxsin6sin4cos4sincos2)(23问题：可能是设)(xf连续，积分才有意义。.cossin)(2Cxxxxxf三、21111xxy，作图形并指出去单调区间，最值，极值，拐点.解,03111,3111,022xxyxxyxy单调增加。03212,033xxyx，,0321233xxy1,03111,3111,2022xxxyxxyx，,03212,2033xxyx002,00yy，极小值=1.1y,01111,1111,,222xxyxxyxy单调减少。01212,,233xxyx没有拐点.340,342yy为极大值，并且34为最大值。四、xdttxfxfRcxfx40sin)()(),()(0，求0)(1dxxf.解,sin)()(40xdttxfxfx,sin)()(40xdxxfxfx164sin22sin43sin))((0420xxxxdxdxxfxx,得23)(0dxxf.0)(1dxxf=23.注意:上面xdxdxxfxx0420sin))((表示必须0x.所以题设)()(0Rcxf有一点问题.五、求常数cba,,的值，使函数232),,(zcxbyzaxyzyxf在点)1,2,1(处在z轴正向的方向导数有最大值64.解即在)1,2,1(，有1,0,0ff.得8,24,6cba.六、是原点到1:222222czbyax上点),,(zyx处的切平面的距离，计算dS.七、)(xf在1,0上连续且单调增加，证明不等式1010)(2)(dxxxfdxxf.证方法1自变量变换（利用定积分定义或在1,21上作变量变换tx1.）方法2函数变换0))2/1()()(21(fxfx.方法31010)(2)(dxxxfdxxf与1010))((2))((dxcxfxdxcxf等价,不仿设021f,得0)()21(xfx.方法4设1cf,1010)(2)(dxxxfdxxf1021020)()()()(xdfxxxxdxf.当1cf,可以用逼近或用定积分定义证明1021020)()()()(xdfxxxxdxf.方法5.1,0:,0)()(yxDdxdyyfxfyxD八、证明方程122xx有且仅有三个实根.证记yyyyxyxx,,00,22ln2,1222.00,022ln2yxyx,所以存在至少三个零点，02ln23xy，不可能有三个以上零点。九、（1）举例说明存在通项趋于零但发散的交错级数(2).举例说明存在收敛的正项级数0nna,但)1(noan.解（1）)1)1((1nnnn(2)1:))1((4nnn)1)1((4nnnnn=)1)1(1(4nnnnnnn,2211nnnnnn,得213,11nnn2:)102(222)102(22212100991211110921丙组题目多数一样或接近。不一样的题目有一、7．.!5!100,11105efexxfx8．.cossin114sin02022xxduudtdxdtx七、设生产某产品必须投入三种要素，zyx,,分别是三种要素的投入量，Q为产量，,,.zyxQ为正数，.1.三种要素的价格分别是321,,PPP，当产量一定时，三种要素的适当投入可使总费用P最小。证明最小投入总费用P与产量Q比为常数，并且求此常数.解利用Lagrange方法，求zPyPxPP321在条件zyxQ下的最小值。得111PPPQP.八、,2/1,110aa当,2n有1)1(21nnanna，证明当1x时，级数nnnxa1收敛，并求和函数.注意:2/11a可去掉.解,1lim1nnnaa当1x时，级数nnnxa1收敛。,)1(21111nnnnxanxna21)(1nnnxaxxannn0)(111nnnxa.记nnnxay0,得,10,2yyxyy得,10,21yyyx得.11xy.