上海市嘉定区2016届高三第一次质量调研数学（文）试题

2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．[来源:Z+xx+k.Com]1．221lim22nnnn____________．2．设集合},02{2RxxxxA，RxxxxB,011，则BA__________．3．若函数xaxf)(（0a且1a）的反函数的图像过点)1,3(，则a_________．4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是_________．5．在正方体1111DCBAABCD中，M为棱11BA的中点，则异面直线AM与CB1所成的角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为2，侧面积也为2，则该圆锥的体积为______________．7．已知012cossin，则2sin____________．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是_____________．9．过点)2,1(P的直线与圆422yx相切，且与直线01yax垂直，则实数a的值为___________．10．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名开始1k，0S2015k)1(1kkSS1kk输出S结束是否男同学的概率是____________．11．设)12,(kPA，)5,4(PB，),10(kPC，则k_________时，点A，B，C共线．12．已知*Nn，若80222211221nnnnnnCCC，则n_______．13．设数列}{na满足21a，nnaa111，记数列前n项的积为nP，则2016P的值为__________．14．对于函数)(xfy，若存在定义域D内某个区间],[ba，使得)(xfy在],[ba上的值域也是],[ba，则称函数)(xfy在定义域D上封闭．如果函数||14)(xxxf在R上封闭，那么ab_____________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数)sin()(xxf为偶函数”是“2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；[来源:学科网ZXXK]④若直线l上有一点在平面外，则l在平面外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．417．若椭圆122myx的焦距为2，则m的值是（）A．21B．1C．2D．418．已知等比数列}{na中，各项都是正数，且13a，321a，22a成等差数列，则7698aaaa等于（）A．6B．7C．8D．9三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于30003cm的溶液，当60时，能实现要求吗？请说明理由．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知Rx，设)cossin,cos2(xxxm，)cossin,sin3(xxxn，记函数nmxf)(．（1）求函数)(xf的最小正周期和单调递增区间；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2)(Cf，3c，3ba，求△ABC的面积S．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数xxaakxf)(（0a且1a）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）设1a，试判断函数)(xfy在R上的单调性，并解关于x的不等式0)12()(2xfxf．①②22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．[来源:Z,xx,k.Com]已知抛物线pyx22，准线方程为01y，直线l过定点),0(tT（0t）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的方程；（2）OBOA是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当1t时，设TBAT，记)(||fAB，求)(f的解析式．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设复数nnnyixz，其中nxRny，*Nn，i为虚数单位，nnziz)1(1，iz431，复数nz在复平面上对应的点为nZ．（1）求复数2z，3z，4z的值；（2）证明：当14kn（*Nk）时，nOZ∥1OZ；（3）求数列}{nnyx的前100项之和．2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）参考答案及评分标准一．填空题（每题4分，满分56分）1．212．},01{Rxxx（或)0,1[）3．314．25．510arccos6．337．548．201620159．4310．10911．2或1112．413．114．6二．选择题（每题5分，满分20分）15．B16．C17．A18．D三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大．………………………………………………………………（2分）解法一：此时，梯形ABED的面积等于400202（2cm），…………（3分）因为CBE，所以tan2030DE，ADABDESABED)(21，即40020)tan2060(21，解得1tan，45．………………（5分）所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45．……………（6分）解法二：此时，△BEC的面积等于图①中没有液体部分的面积，即200BECS（2cm），………………………………………………（3分）因为CBE，所以tan21212BCCEBCSBEC，即200tan200，解得1tan，45．…………………………………………（5分）所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45．…………（6分）60ABCDABCD③④EF（2）如图④，当60时，设上液面为BF，因为6023arctanCBD，所以点F在线段AD上，…………………………………………（1分）此时30ABF，31030tanABAF，ABFS315021AFAB（2cm），…………………………（3分）剩余溶液的体积为33000203150（3cm），…………………（4分）由题意，原来溶液的体积为80003cm，因为3000330008000，所以倒出的溶液不满30003cm．……（5分）所以，要倒出不少于30003cm的溶液，当60时，不能实现要求．…（6分）20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．（1）xxxxxxnmxf2cos2sin3cossincossin32)(2262sin2x．……………………………………（3分）所以)(xf的最小正周期是T．………………………（4分）由226222kxk，Zk，……………………（6分）得函数)(xf的单调递增区间是3,6kk（Zk）．……（7分）（2）由2)(Cf，得162sinC，…………………………（1分）因为C0，所以611626C，所以262C，3C．………………………………（3分）在△ABC中，由余弦定理Cabbaccos2222，…………（4分）得abbaabba3)(3222，即2ab，………………（5分）所以△ABC的面积2323221sin21CabS．…………（7分）21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分．（1）解法一：函数xxaakxf)(的定义域为R，因为)(xf是奇函数，所以01)0(kf，1k．…………………………………………………………（3分）当1k时，xxaaxf)(，)()(xfaaxfxx，)(xf是奇函数．所以，所求k的值为1．…………………………………………………………（6分）解法二：函数xxaakxf)(的定义域为R，由题意，对任意Rx，)()(xfxf，…………………………………（2分）即xxxxakaaak，0))(1(xxaak，………………………（4分）因为0xxaa，所以，1k．……………………………………………（6分）（2）由（1），xxaaxf)(，任取1x，R2x，且21xx，则2121221111)()()()()(21xxxxxxxxaaaaaaaxfxf，因为1a，21xx，所以021xxaa，又01121xxa，所以0)()(21xfxf，即)()(21xfxf，所以函数)(xf在R上是单调递增函数．………………（4分）（注：也可以这样解答：1a，xay在R上是增函数，xxaay1在R上是减函数，则xay在R上是增函数，所以xxaaxf)(在R上是增函数．）由0)12()(2xfxf，得)12()(2xfxf，即)21()(2xfxf，……（6分）所以xx212，即0122xx，解得)21,21(x．…………（8分）22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．（1）由题意，12p，2p，………………………………………………（2分）故抛物线方程为yx42．…………………………………………………………（4分）（2）设),(11yxA，),(22yxB，直线tkxyl:，则.4,40444,212122txxkxxtkxxyxtkxy…………………………（2分）于是，2212122121)()1(txxktxxkyyxxOBOAtt42，……（4分）因为点),0(tT是定点，所以t是定值，所以OBOA是定值，此定值为tt42．…（6分）（3）)1,0(T，设4,200xxB，则14,200xxTB，4,200xxTBAT，故)41,(200xxA，………………（2分）因为点A在抛物线yx42上，所以41420202xx