上海市黄浦区2015届高三上学期期终调研测试数学试题

黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文理合卷)(2015年1月8日)一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R，集合1|||1|2AxxBxx，，则U(C)BA．2．函数22log(1)()1xfxx的定义域是．3．已知直线12:30,:(13)(13)10lxylxy，则直线1l与2l的夹角的大小是．4．若三阶行列式1302124121nmmn中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15，则|i|nm(其中i是虚数单位，Rmn、)的值是．5．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172xy的右焦点重合，则抛物线C的方程是．6．若函数213()2xaxafx是定义域为R的偶函数，则函数()fx的单调递减区间是．7．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点4(,)5AAx，则sin2＝．(用数值表示)8．已知二项式*(12)(2,N)nxnn的展开式中第3项的系数是A，数列na*(N)n是公差为2的等差数列，且前n项和为nS，则limnnAS＝．9．已知某圆锥体的底面半径3r，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23的扇形，则该圆锥体的表面积是．10．若从总体中随机抽取的样本为1,3,1,1,1,3,2,2,0,0，则该总体的标准差的点估计值是．11．已知R,,mnmn、、、，若、是函数()2()()7fxxmxn的零点，则mn、、、四个数按从小到大的顺序是(用符号“”连接起来)．12．一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为(用数值作答)．13．已知Rx，定义：()Ax表示不小于x的最小整数．如(3)2,(0.4)0,AA(1.1)1A.(理科)若(2())5AxAx，则正实数x的取值范围是．(文科)若(21)3Ax，则实数x的取值范围是．14．(理科)已知点O是ABC的重心，内角ABC、、所对的边长分别为abc、、，且23203aOAbOBcOC,则角C的大小是.(文科)已知点PQ、是ABC所在平面上的两个定点，且满足0,PAPC2QAQBQCBC,若||=||PQBC,则正实数=.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的[答]()．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件16．已知向量(3,4)a，则下列能使12(R)aee、成立的一组向量12,ee是[答]()．A．12(0,0)(1,2)ee，B．12(1,3)(2,6)ee，C．12(1,2)(3,1)ee，D．121(,1)(1,2)2ee，17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是[答]()．A．4B．5C．6D．7[来源:学科网ZXXK]18．已知izab(Ri)ab、，是虚数单位，12,Czz，定义：()||z||||||Dzab，1212(,z)||z||Dzz．给出下列命题：(1)对任意Cz，都有(z)0D；(2)若z是复数z的共轭复数，则()(z)DzD恒成立；(3)若12(z)(z)DD12(zzC)、，则12zz；输出k否是SSS+21kk0,S0kS1000开始结束EBD1D1BFC1APA1C第19题图(4)(理科)对任意123Czz、z、，结论131223(z,z)(z,z)(z,z)DDD恒成立，则其中真命题是[答]()．(文科)对任意12Cz、z，结论1221(z,z)=(z,z)DD恒成立，则其中真命题是[答]()．A．(1)(2)(3)(4)B．(2)(3)(4)C．(2)(4)D．(2)(3)三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在长方体1111ABCDABCD中，14,3ABAABC，EF、分别是所在棱ABBC、的中点，点P是棱11AB上的动点，联结1,EFAC．如图所示．(1)求异面直线1EFAC、所成角的大小(用反三角函数值表示)；(2)(理科)求以EFAP、、、为顶点的三棱锥的体积．(文科)求以EBFP、、、为顶点的三棱锥的体积．20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数()23sincoscos2,Rfxxxxx．(1)求函数()fx的单调递增区间；(2)在ABC中，内角ABC、、所对边的长分别是abc、、，若()2,C,24fAc，求ABC的面积ABCS的值．21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数101(),R101xxgxx，函数()yfx是函数()ygx的反函数．(1)求函数()yfx的解析式，并写出定义域D；(2)(理科)设1()()hxfxx，若函数()yhx在区间(0,1)内的图像是不间断的光滑曲线，求证：函数()yhx在区间(1,0)内必有唯一的零点(假设为t)，且112t．(文科)(2)设函数1()()hxfxx，试判断函数()yhx在区间(1,0)上的单调性，并说明你的理由．22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．定义：若各项为正实数的数列na满足*1(N)nnaan，则称数列na为“算术平方根递推数列”.已知数列nx满足*0N,nxn，且19,2x点1(,)nnxx在二次函数2()22fxxx的图像上.(1)试判断数列21nx*(N)n是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；(2)记lg(21)nnyx*(N)n，求证：数列ny是等比数列，并求出通项公式ny；(3)从数列ny中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,nnnyyy，把这些项重新组成一个新数列nz：123123,z,z,nnnzyyy.(理科)若数列nz是首项为111()2mz、公比为*1(,N)2kqmk的无穷等比数列，且数列nz各项的和为1663，求正整数km、的值．(文科)若数列nz是首项为111()2mz，公比为*1(,N)2kqmk的无穷等比数列，且数列nz各项的和为13，求正整数km、的值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系中，已知动点(,)Mxy，点(0,1),(0,1),(1,0),ABD点N与点M关于直线yx对称，且212ANBNx.直线l是过点D的任意一条直线．(1)求动点M所在曲线C的轨迹方程；(2)设直线l与曲线C交于GH、两点，且32||2GH，求直线l的方程；(3)(理科)若直线l与曲线C交于GH、两点，与线段AB交于点P(点P不同于点OAB、、)，直线GB与直线HA交于点Q，求证：OPOQ是定值．(文科)设直线l与曲线C交于GH、两点，求以||GH的长为直径且经过坐标原点O的圆的方程．黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试[来源:学|科|网]数学试卷(文理合卷)参考答案和评分标准(2015年1月8日)说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题1．1(1,]2--；8．2；2．(1,)+?；9．36p；3．3p；10．253；4．2；11．mnab；5．212yx=；12．234425；6．(,0]-?；13．(理)514x；(文)112x；7．2425-；14．(理)3p；(文)12．二、选择题：15．B16．C17．A18．C三、解答题19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．解(1)联结AC，在长方体1111ABCDABCD中，有ACEF.又1CAC是直角三角形1ACC的一个锐角，∴1CAC就是异面直线1ACEF与所成的角.由14,3ABAABC，可算得225ACABBC.∴114tan5CCCACAC，即异面直线1ACEF与所成角的大小为4arctan5.[来源:学。科。网](理)(2)由题意可知，点P到底面ABCD的距离与棱1AA的长相等．∴113PAEFAEFVSAA．∵113322222AEFSAEBF，∴1113=4=2332PAEFAEFVSAA．(文)(2)由题意可知，点P到底面ABCD的距离与棱1AA的长相等．∴113PEBFEBFVSAA．∵113322222EBFSEBBF，∴1113=4=2332PEBFEBFVSAA．20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．解(1)∵()23sincoscos2Rfxxxxx，，∴()2sin(2)6fxx.由222,262kxkkZ，解得,63kxkkZ.∴函数()fx的单调递增区间是[,],63kkkZ.(2)∵在ABC中，()2,,24fACc，∴2sin(2)2,6A解得,3AkkZ.又0A，∴3A.依据正弦定理，有,6sinsin34aca解得.∴512BAC.∴116233sin262242ABCSacB.21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解(1)1012()1,R101101xxxgxx，()1gx.又1011x，2211110101x.1()1gx.由101101xxy，可解得1110,lg11xyyxyy.1()lg1xfxx，(1,1)D.(理)证明(2)由(1)可知，11111()()lglg11xxhxfxxxxxx.可求得函数()hx的定义域为1(1,0)(0,1)D.对任意1xD，有1111()()lglg011xxhxhxxxxx，所以，函数()yhx是奇函数.当(0,1)x时，1x在(0,1)上单调递减，12=111xxx在(0,1)上单调递减，于是，1lg1xx在(0,1)上单调递减.因此，函数()yhx在(0,1)上单调递减.依据奇函数的性质，可知，函数()yhx在(1,0)上单调递减，且在(1,0)上的图像也是不间断的光滑曲线.又199100100()2lg30,()lg1992021009999hh,所以，函数()yhx在区间(1,0)上有且仅有唯