上海市静安区2016届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题

静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测理科数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.已知抛物线2yax的准线方程是14y，则a.2.在等差数列na（nN）中，已知公差2d，20072007a，则2016a.3.设cosx,且3[,]44，则arcsinx的取值范围是.4.已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是cm3.[来源:学*科*网Z*X*X*K]5.方程3(1)(1)log(98)log(1)3xxxxx的解为.6.直线20xy关于直线220xy对称的直线方程是.7.已知复数z满足28zzi,其中i为虚数单位,则z.8.8()xyz的展开式中项34xyz的系数等于.(用数值作答)9.在产品检验时，常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有种.(用数值作答)10.经过直线230xy与圆222410xyxy的两个交点，且面积最小的圆的方程是.11.在平面直角坐标系xOy中，坐标原点(0,0)O、点(1,2)P，将向量绕点O按逆时针方向旋转56后得向量，则点Q的横坐标是.12.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积2222Sabcbc，则sinA.(用数值作答)13.已知各项皆为正数的等比数列na（nN），满足7652aaa，若存在两项ma、na使得14mnaaa，则14mn的最小值为.14.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位,沿y轴正方向平移5个单位,得到直线1l.再将直线1l沿x轴正方向平移1个单位,沿y轴负方向平移2个单位,又与直线l重合.若直线l与直线1l关于点(2,3)对称,则直线l的方程是.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.组合数(1,,)rnCnrnrN恒等于()A.1111rnrCnB.1111rnnCrC.11rnrCnD.11rnnCr16.函数213(10)xyx的反函数是()A．311log()3yxxB．311log(1)3yxxC．311log(1)3yxxD．311log()3yxx17.已知数列na的通项公式为2,4(*)4,4nnnanNnnnn，则limnna()A．2B．0C．2D．不存在18.下列四个命题中，真命题是()A．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线;B．和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线;C．和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线;[来源:学,科,网Z,X,X,K]D．若a、b是异面直线,b、c是异面直线,则a、c是异面直线.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，E为AB的中点.求：(1)异面直线BD1与CE所成角的余弦值；(2)点A到平面1AEC的距离.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”.某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元)(2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设P1和P2是双曲线22221xyab上的两点，线段P1P2的中点为M，直线P1P2不经过坐标原点O.(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证:k1k2=22ab；(2)若双曲线的焦点分别为1(3,0)F、2(3,0)F，点P1的坐标为(2，1)，直线OM的斜率为32，求由四点P1、F1、P2、F2所围成四边形P1F1P2F2的面积.22．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点nP在x轴上，其横坐标为nx，且{}nx是首项为1、公比为2的等比数列，记1nnnPAP，nN．(1)若31arctan3，求点A的坐标；(2)若点A的坐标为(082)，，求n的最大值及相应n的值．23．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知定义在实数集R上的偶函数xf和奇函数xg满足12xfxgx.(1)求fx与gx的解析式；(2)若定义在实数集R上的以2为最小正周期的周期函数()x，当11x时，()()xfx，试求()x在闭区间[2015,2016]上的表达式，并证明()x在闭区间[2015,2016]上单调递减；(3)设22()21hxxmxmm（其中m为常数），若2(())1hgxmm对于[1,2]x恒成立，求m的取值范围.静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测理科数学试卷参考答案及评分标准2016.01说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．4．给分或扣分均以1分为单位．P20xyAP1P3P4……一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.a12．20253.[,]42.4.122885.3x6.7220xy7.17z8.2809.1396810.225561810xyxy11.31212.81713.14143()(5)662mnmnmnnm14.:6810lxy.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.D16.B17.A18.C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.[来源:Z_xx_k.Com]19．如图，在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，E为AB的中点。（1）求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；(2)求点A到平面1AEC的距离。解（1）延长DC至G，使CG=DC,连结BG、GD1[来源:Z&xx&k.Com]，∴四边形EBGC是平行四边形.∴BG∥EC.∴在即异面直线与CE所成角的余弦值是（2）过作交CE的延长线于H.连结AH.底面ABCD如图所示.由于∠AHE=∠B=90°，∠AEH=∠CEB，则△AHE∽△CBE21//CGEB11.DBGBDCE就是异面直线与所成的角，中311BDBGD151521524134532cos213231251212211221BGBDGDBGBDBGDGDBG）（，1BD15.151ACEHA1111115112,,22552161,.55AHAECBAECEAEAHCBCECERtAAHAAAHAH在中，设点A到平面1AEC的距离为d，则由三棱锥体积公式可得：111133ACEACEAASdS，即11111161113223245d。所以66d，即点A到平面1AEC的距离为66。20．李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”.某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元)(2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？解法1：（1）设n个月的余款为na，则11000001.20.93000105000a，2221000001.20.930001.20.93000110400a，。。。。。。12121111121000001.20.930001.20.93000a，=121212[1(1.20.9)]1000001.20.9300019489011.20.9（元），法2：11000001.20.93000105000a，一般的，11.20.93000nnaa，构造)(9.02.11cacann，37500c137500(10500037500)(1.20.9)nna137500675001.08nna，12194890a。（2）194890-1000001.05=89890（元），能还清银行贷款。21．设P1和P2是双曲线22221xyab上的两点，线段P1P2的中点为M，直线P1P2不经过坐标原点O.(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证:k1k2=22ab；(2)若双曲线的焦点分别为1(3,0)F、2(3,0)F，点P1的坐标为(2，1)，直线OM的斜率为32，求由四点P1、F1、P2、F2所围成四边形P1F1P2F2的面积.(1)解法1：设不经过点O的直线P1P2方程为1ykxl，代入双曲线22221xyab方程得：22222222211()20bakxaklxabal.设P1坐标为11(,)xy，P2坐标为22(,)xy，中点坐标为M(x,y),则1212,22xxyyxy，211222212aklxxbak，222121212121yybakkkxxak，所以，2222221211akkakbak，k1k2=22ba。另解：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，中点M(x,y),则1212,22xxyyxy且2211222222221(1)1(2)xyabxyab（1）-（2）得：1212121222()()()()0xxxxyyyyab。因为,直线P1P2和直线OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)0，等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2)，得：1212221212110yyyyaxxxxb即k1k2=22ba。…………6分（2）由已知得22222211,3abab,求得双曲线方程为2212