上海市青浦区2015届高三上学期期末学业质量调研测试（一模）数学试题

青浦区2014学年第一学期高三期终学习质量调研测试数学试题Q.2015.01.09（满分150分，答题时间120分钟）学生注意：1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．3．可使用符合规定的计算器答题．一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若复数131izi（i为虚数单位），则z的值为_____________.2.设nS是等差数列{}na的前n项和，若742S，则4a.3．9(12)展开式中有理项的个数．．是.4．直线:tan105lxy的倾斜角.5．已知函数2cosyx与2sin(2)(0)yx，它们的图像有一个横坐标为3的交点，则的值是．6．平面截半径为2的球O所得的截面圆的面积为，则球心O到平面的距离为____.7．函数yfx的反函数为1yfx，如果函数yfx的图像过点2,2，那么函数121yfx的图像一定过点.8.已知函数()fx对任意的xR满足()()fxfx，且当0x≥时，2()1fxxax．若()fx有4个零点，则实数a的取值范围是．9.抛物线28yx的动弦AB的长为6，则弦AB中点M到y轴的最短距离是.10．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法．．有种.11．已知1cos22nnna，则无穷数列na前n项和的极限为.12.已知正实数,xy满足24xyxy，则xy的最小值为．13.设函数()yfx在R上有定义，对于任意给定正数M，定义函数DCBAD1A1C1B1M第19题图(),()(),()MfxfxMfxMfxM，则称函数()Mfx为()fx的“孪生函数”，若给定函数2()2fxx，1M，则(2)Mf.14.当x和y取遍所有实数时，22(,)(5cos)(sin)fxyxyxym恒成立，则m的最小值为.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.已知1,2,()abaab且，则向量a与向量b的夹角为………（）.（A）30（B）45（C）90（D）135[来源:学科网ZXXK]16.设ab、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．．的是…………………………………………………………………………………………（）.（A）若,,abab，则b//（B）若,,abab，则（C）若,a，则a//或a（D）若a//,，则a17．设,ab为正实数，则“ab”是“11abab”成立的………………（）．（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件18.设函数*()1,[,1),fxnxnnnN，函数2()loggxx，则方程()()fxgx实数根的个数是……………………………………………………………………………（）.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.如图所示，在长方体1111ABCDABCD中，2AB，2BC，14CC，M为棱1CC上一点.（1）若11CM，求异面直线1AM和11CD所成角的正切值；[来源:学|科|网Z|X|X|K]（2）若12CM，求证BM平面11ABM.20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.第20题图第21题图如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足sin()yAtb，,，已知某摩天3轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米?[来源:学|科|网Z|X|X|K]21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是22440xyy，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为1F、2F，试在“8”字形曲线上求点P，使得12FPF是直角．22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.已知数列na是公差不为0的等差数列，13,2a数列nb是等比数列，且11ba，2334,baba，数列nb的前n项和为nS，记点*(,),nnnQbSnN．（1）求数列nb的通项公式；（2）证明：点123nQQQQ、、、、、在同一直线l上，并求出直线l方程；（3）若1nnASBS对*nN恒成立，求BA的最小值．23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知函数11()||||fxxxxx.（1）指出11()||||fxxxxx的基本性质（结论不要求证明）并作出函数()fx的图像；（2）关于x的不等式2()2()6(7)0kfxkfxk恒成立，求实数k的取值范围；（3）关于x的方程2()()0fxmfxn（,mnR）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围.青浦区2014学年第一学期高三期终学习质量调研测试参考答案及评分标准2015.01说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．5；2.6；3．5；4．45；5．6；6．3；7．1,3；8.2,；9.98；10．180；11．15；12.263；13.2；14.8.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.B；16.D；17．C；18.B.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.19.解:（1）由题意，1111,2CMBCBC，111BCCM，得15BM…………1分1111//ABCD，所以异面直线1AM和11CD所成角即为1AM和11AB所成角…………3分长方体1111ABCDABCD中，1111111ABBCABBB，，11AB面11BBCC，111ABBM，故可得11BAM为锐角且111115tan2BMBAMBA……………………6分（2）由题意，112BCBC，12CM，14CC2CM22211BBBMBM，190BMB，即1BMBM………………………………8分又由11AB面11BBCC可得11ABBM…………………………………………10分[来源:学科网ZXXK]故BM平面11ABM.………………………………………………………………12分（说明：建立空间直角坐标系的相应给分）20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.解：（1）由题设可知50A，60b，……………………2分又23T，所以23，……………………4分从而250sin()603yt，再由题设知0t时10y，代入250sin()603yt，得sin1，从而2，……………………6分因此，26050cos,(0)3ytt.……………………8分（2）要使点P距离地面超过85米，则有26050cos853yt，………8分即21cos32t，又202,(0)3tt解得224,(0)333tt，即12t……………………10分所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85米的时间有1分钟.……14分[来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:Zxxk.Com]21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.第21题图解（1）设双曲线的方程为222210,0xyabab，在已知圆的方程中，令0y，得240x，即2x，则双曲线的左、右顶点为2,0A、2,0B，于是2a……………………2分令2y，可得280x，解得22x，即双曲线过点22,2，则228412b所以2b，……………4分所以所求双曲线方程为22144xy……………………6分（2）由（1）得双曲线的两个焦点122,0F，222,0F……………………7分当1290FPF时，设点,Pxy，①若点P在双曲线上，得224xy，由120FPFP，得2222222080xxyxy由2222480xyxy，解得62xy所以12346,2,6,2,6,2,6,2PPPP……11分②若点P在上半圆上，则224402xyyy，由120FPFP，得222220xxy，由222244080xyyxy无解……………………13分综上，满足条件的点有4个，分别为12346,2,6,2,6,2,6,2PPPP……………………14分22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.解（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，由题设可得21332122233303822qdqqdddq或因为数列na是公差不为0的等差数列，所以12q，即131()22nnb……………………………………………4分（2）113()3112(,)12222nnnnnnnnxQbsQy即为（(-)，1-(-)）,令得1-(-)330xy，即点123nQQQQ、、、、、，在同一条直线330xy上。……………………………………………8分（3）131(1())(1)1221()1121()2nnnnaqSq，…………………………………9分令1nntSS，0nS，t随着nS的增大而增大…………………………………10分当n为奇数时，11()2nnS在奇数集上单调递减，31,2nS，50,6t…………………………………………12分当n为偶数时，11()2nnS在偶数集上单调递增，3