上海市松江区2015届高三上学期期末考试数学（理）试题

上海市松江区2014学年度第一学期高三期末考试数学理试卷（满分150分，完卷时间120分钟）2015.1一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z满足014zz,则z的值为▲．2．已知()log(0,1)afxxaa，且2)1(1f，则)(1xf▲．3．在等差数列na中，15,652aa,则108642aaaaa▲．4．已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，则BDAE=▲．5．在正四棱柱1111ABCDABCD中，1BC与平面ABCD所成的角为60，则1BC与AC所成的角为▲（结果用反三角函数表示）．6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430xy和x轴都相切，则该圆的标准方程是▲．7．按如图所示的流程图运算，则输出的S▲．8．已知函数()sin()3fxx（Rx，0）的最小正周期为，将)(xfy图像向左平移个单位长度)20(所得图像关于y轴对称，则▲．9．已知双曲线22214xyb的右焦点与抛物线212yx的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为▲．10．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为▲．11．(理)已知函数13()sin2cos2122fxxx，若2()logfxt对xR恒成立，则t的取值范围为▲．12．某同学为研究函数2211101fxxxx的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CPx，则fxAPPF．此时maxmin()()fxfx=▲．开始结束S输出YN4a1,5SaaSS1aa第7题13．设)(xf是定义在R上的偶函数，对任意Rx，都有)2()2(xfxf，且当0,2x时，121)(xxf．若函数)1)(2(log)()(axxfxga在区间6,2恰有3个不同的零点，则a的取值范围是▲．14．（理）在正项等比数列na中，已知120115aa，若集合12121110,ttAtaaatNaaa，则A中元素个数为▲．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知Rqp,，则“0pq”是“1pq”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．若二项式2323nxx*()nN展开式中含有常数项，则n的最小取值是A．4B．5C．6D．717．设P是ABC所在平面内一点，2BCBABP则A．0PAPBB．0PBPC[来源:学§科§网Z§X§X§K]C．0PCPAD．0PAPBPC18．已知满足条件122yx的点(,)xy构成的平面区域面积为1S，满足条件1][][22yx的点(,)xy构成的平面区域的面积为2S,其中][][yx、分别表示不大于yx,的最大整数，例如：[0.4]1，[1.7]1，则21SS与的关系是A．21SSB．21SSC．21SSD．321SS三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC所对的边，且满足cba,Babsin2．（1）求A的大小；（2）若2a，32b，求ABC的面积．[来源:学|科|网]20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数()(0,1,)xbfxaaabR．（1）若()fx为偶函数，求b的值；（2）若()fx在区间2,上是增函数，试求a、b应满足的条件．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分已知数列na的首项为1，记1212()knnnknnnfnaCaCaCaC(*Nn).（1）若na为常数列，求(4)f的值；（2）若na为公比为2的等比数列，求()fn的解析式；（3）是否存在等差数列na，使得()1(1)2nfnn对一切*Nn都成立?若存在，求出数列na的通项公式；若不存在，请说明理由．[来源:学科网][来源:学科网ZXXK]h23h23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（理）对于曲线:(,)0Cfxy，若存在最小的非负实数m和n，使得曲线C上任意一点(,)Pxy，||,||xmyn恒成立，则称曲线C为有界曲线，且称点集{(,),}xyxmyn为曲线C的界域．（1）写出曲线22(1)4xy的界域；（2）已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线1x的距离之和等于3，曲线M是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；（3）已知曲线C上任意一点(,)Pxy到定点12(1,0),(1,0)FF的距离之积为常数(0)aa，求曲线的界域．上海市松江区2014学年度第一学期高三期末考试数学（文理合卷）试卷参考答案2015.1一、填空题1．i22．x213．904．25．2arccos46．22211xy7．208．129．510．1311．(理)(0,1]（文）5[,]()1212kkkZ12．52113．2,4314．（理）4029（文）7二、选择题15．A16．D17．C18．A三、解答题19．解：（1）Babsin2BABsinsin2sin……………2分0sinB21sinA……………4分由于cba，A为锐角，6A……………6分（2）由余弦定理：2222cosabcbcA,233221242cc，……………8分0862cc，2c或4c由于cba，4c……………10分所以1sin232SbcA……………12分20．解：（1）()fx为偶函数，∴对任意的xR，都有()()fxfx，……………2分即xbxbaaxbxb……………4分得0b。……………6分（2）记()xbxbhxxbxbxb，……………8分①当1a时，()fx在区间2,上是增函数，即()hx在区间2,上是增函数，∴2b，2b……………10分②当01a时，()fx在区间2,上是增函数，即()hx在区间2,上是减函数但()hx在区间,b上是增函数，故不可能……………12分∴()fx在区间2,上是增函数时，a、b应满足的条件为1a且2b……14分21．解（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为216833H，底面半径为28433r……………2分22118163333VrH39.71……………5分198602.0V（秒）所以，沙全部漏入下部约需1986秒。……………7分（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，……………9分设高为H2110244381VH……………12分642.372.427H锥形沙堆的高度约为2.4cm.……………14分22．22．解:（1）∵na为常数列，∴1na()nN.∴12344444(4)15fCCCC……………4分（2）∵na为公比为2的等比数列，∴12nna()nN.……………6分h23h∴1231()242nnnnnnfnCCCC，∴1223312()12222nnnnnnfnCCCC，(12)3nn……………8分故31()2nfn.……………10分（3）假设存在等差数列na，使得()1(1)2nfnn对一切*Nn都成立，设公差为d，则121121()knnnnknnnnnfnaCaCaCaCaC……………12分且121121()nnknnnnknnnfnaCaCaCaCaC，相加得121112()2()()knnnnnnnfnaaaCCCC，∴12111()()2knnnnnnnaafnaCCCC11(22)2nnnaaa11(1)2(2)(21)nndnd.∴1()1(2)2(2)2nfndnd(1)2nn恒成立，即02)2)(2()2(1nnddnN恒成立，∴2d.……………15分故na能为等差数列，使得()1(1)2nfnn对一切nN都成立，它的通项公式为21nan.......................16分（也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分）23．（理）（1）22(1)4xy22(1)4,4xy13,22xy界域为{(,)|||3,||2}xyxy……………4分（2）设(,)Pxy，则22|1|3xyx……………6分化简，得：2441116812xxyxx……………8分12,2222xy界域为{(,)|||2,||22}xyxy……………10分（3）由已知得：2222(1)(1)xyxya……………12分222222222121(1)4xxyxxyxyxa22222(1)4xyxa22224(1)yxax22220,41yxax2222(1)4xxa222(1)xa211axa||1xa22224(1)yxax，……………14分令222224,4tatxax2222221(1)(2)4444taaaytt当2t，即2214ax时，等号成立．若02a，21[1,1]4aaa，2214ax时，22max4ay||2ay……16分若2a，2104a，2214ax，0x时，2max1ya||1ya曲线C界域为：①02a时，{(,)|||1,||}2axyxay②2a时，{(,)|||1,||1}xyxaya……………18分23．（文）（1）曲线1(04)xyx的外确界05M与内确界022m．………4分（2）对于曲线24yx，设(,)Pxy为曲线上任意一点2222||4(2)4(0)OPxyxxxx||[0,)OP曲线24yx不是有界曲线．……………7分对于曲线22(1)4xy22