二次函数的竞赛题型及其解题策略

二次函数的竞赛题型及其解题策略湖北王东青二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体，因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐，成为近几年各地竞赛的热点问题之一．本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括，仅供大家参考．一、二次函数的系数a、b、c及相关代数式的取值问题抛物线y=ax2+bx+c中二次项系数a描述抛物线的开口，a0向上，a0向下；常数项c描述抛物线与y轴的交点(0，c)，c0时交点处x轴上方，c0时交点处x轴的下方，c=0时时处原点；由对称轴公式x=－ab2知b与a一起来描述抛物线的对称轴；b2－4ac大于0，等于0或小于0，决定抛物线和x轴交点的个数，等等．上面性质反之亦成立．我们还可以通过考察如x=±1时y的值的情况，来确定a±b+c等的符号问题．例1抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(4，－11)，且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负．则a、b、c中为正数的（）A、只有aB、只有bC、只有cD、有a和b解：由顶点为(4，－11)，抛物线交x轴于两点，知a0．设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，即x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，由题设x1x20知ac0，所以c0，又对称轴为x=4知－ab20，故b0．故选(A)．二、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．例2已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数，并且f(19)=f(99)=1999，|c|1000，则c=．解：由已知f(x)=ax2+bx+c，且f(19)=f(99)=1999，因此可设f(x)=a(x－19)(x－99)+1999，所以ax2+bx+c=a(x－19)(x－99)+1999=ax2－(19+99)x+19×99a+1999，故c=1999+1881a．因为|c|1000，a是整数，a≠0，经检验，只有a=－1满足，此时c=1999－1881=118．例3已知a，b，c是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A，B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．解：设A、B的坐标分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x1x2，则x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根．∴,0,02121acxxabxx∴x10，x20又由题设可知△=b2－4ac0，∴b2ac①∵|OA|=|x1|1，|OB|=|x2|1，即－1x1，x20，∴ac=x1x21，∴ca②∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，且当x=－1时y0，∴a(－1)2+b(－1)+c0，即a+cb．∵b，a+c都是整数，∴a+c≥b+1③由①，③得a+c2ac+1，∴(ca)21，又由②知，ca1，ca+1，即a(c+1)2≥(1+1)2=4∴a≥5，又b2ac≥2154，∴b≥5取a=5，b=5，c=1时，抛物线y=5x2+5x+1满足题意．故a+b+c的最小值为5+5+1=11．三、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c建立联系．例4如果y=x2－(k－1)x－k－1与x轴的交点为A，B，顶点为C，那么△ABC的面积的最小值是（）A、1B、2C、3D、4解：由于△=(k－1)2+4(k+1)=(k+1)2+40，所以对于任意实数k，抛物线与x轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x1，x2，则：|AB|=524)()(221221221kkxxxxxx又抛物线的顶点c坐标是(452,212kkk)，因此S△ABC=52212kk·322)52(81452kkkk因为k2+2k+5=(k+1)2+4≥4，当k=－1时等于成立，所以，S△ABC≥14813，故选A．四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值)．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值．例5已知二次函数y=x2－x－2及实数a－2．求：(1)函数在－2x≤a的最小值；(2)函数在a≤x≤a+2的最小值．解：函数y=x2－x－2的图象如图1所示．(1)若－2a21，当x=a时，y最小值=a2－a－2若a≥21，当x=21时，y最小值=－49．(2)若－2a且a+221，即－2a－23，当x=a+2时，y最小值=(a+2)2－(a+2)－2=a2+3a，若a21≤a+2，即－23≤a21，当x=21时，y最小值=－49．若a≥21，当x=a时，y最小值=a2－a－2．例6当|x+1|≤6时，函数y=x|x|－2x+1的最大值是．解：由|x+1|≤6，得－7≤x≤5，当0≤x≤5时，y=x2－2x+1=(x－1)2，此时－2－1120xy·)49,21(图1y最大值=(5－1)2=16．当－7≤x0，y=－x2－2x+1=2－(x+1)2，此时y最大值=2．因此，当－7≤x≤5时，y的最大值是－16．说明：对于含有绝对值的二次函数，通常是先分区间讨论，去掉绝对值符号，求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．五、二次函数及其图像的应用．有些方程及不等式等有关问题，直接求解十分困难，若能构造二次函数关系，借助函数图像使之形象化，直观化，以形助数，会简化求解过程．例7当a取遍0到5的所有实数时，满足3b=a(3a－8)的整数b有几个？解：由3b=a(3a－8)有b=a2－38a，即b=(a－916)342，因为，当a=0时，b=0时；当a=5时，b=1132利用二次函数图象可知－916≤b≤1132所以b可取到的整数值为－1，0，1，…，11，共有13个．例8已知a0，b≤0，c0，且acb42=b－2ac，求b2－4ac的最小值．解：令y=ax2+bx+c，由于a0，b≤0，c0，则△=b2－4ac0，所以，此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线，且与x轴有两个不同的交点A(x1，0)，B(x2，0)．因为x1x2=ac0，不妨设x1x2，则x10x2，对称轴x=－ab2≤0，于是|x1|=caacbbaacbb242422，故abac442≥c=aacbb242≥－aacb242∴b2－4ac≥4，当a=－1，b=0，c=1时，等号成立．因此，b2－4ac的最小值为4．ABOx1x2yxC(0，c)图21O－1xy图3练习题：1、已知二次函数y=ax2+bx+c图像如图3所示，并设M=|a+b+c|－|a－b+c|+|2a+b|－|2a－b|，则（）A、M0B、M=0C、M0D、不能确定M为正、为负或为0(答案：C)2、已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a是正整数)的图象经过点A(－1，4)与点B(2，1)，且与x轴有两个不同的示点，则b+c的最大值为．(答案：－4)3、如图4，已知直线y=－2x+3与抛物线y=x2相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于．(答案：6)4、设m为整数，且方程3x2+mx－2=0的两根都大于－59而小于73，则m=．(提示：设y=3x2+mx－2，由题设可知x=－59时y0，且x=73时y0．答案：4)5、已知函数y=(a+2)x2－2(a2－1)x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x为何值时，函数值最小．(答案：x=,4,1,4,32,41,1,1,1时当时当或时当时当aaaaaa(其中a为正整数)，函数值最小．6、已知关于x的方程x2－(2m－3)x+m－4=0的二根为α1，α2，且满足－3α1－2，α20，求m的取值范围．(答案：5674m)7、已知关于正整数n的二次式y=n2+an(a为实数)，若当且仅当n=5时，y有最小值，则实数a的取值范围是．(答案：－11a－9)AByxOy=－2x+3图4