初中数学竞赛专题选讲

初中数学竞赛专题选讲（初三.2）完全平方数和完全平方式一、内容提要一定义1.如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数.在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2.如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围m2,(a+b－2)2,4x2－12x+9,144都是完全平方式.在实数范围（a+3）2,x2+22x+2,3也都是完全平方式.二.整数集合里，完全平方数的性质和判定1.整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2.若n是完全平方数，且能被质数p整除,则它也能被p2整除..若整数m能被q整除，但不能被q2整除,则m不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三.完全平方式的性质和判定在实数范围内如果ax2+bx+c(a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0且a0；如果b2－4ac=0且a0；则ax2+bx+c(a≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b2－4ac=0且a是有理数的平方时，ax2+bx+c是完全平方式.四.完全平方式和完全平方数的关系1.完全平方式（ax+b）2中当a,b都是有理数时,x取任何有理数，其值都是完全平方数；当a,b中有一个无理数时，则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2.某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.例如：n2+9,当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五.完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1.在整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)中①若b2－4ac是完全平方数，则方程有有理数根；②若方程有有理数根，则b2－4ac是完全平方数.2.在整系数方程x2+px+q=0中①若p2－4q是整数的平方，则方程有两个整数根；②若方程有两个整数根，则p2－4q是整数的平方.二、例题例1.求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m－2,m－1,m,m+1,m+2.其平方和为S.那么S＝（m－2）2＋（m－1）2＋m2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m2+2）.∵m2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m2+2不能被5整除.而5（m2+2）能被5整除，即S能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2m取什么实数时，（m－1）x2+2mx+3m－2是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当010m△＝时，（m－1）x2+2mx+3m－2是完全平方式△=0，即（2m）2－4(m－1)(3m－2)=0.解这个方程，得m1=0.5,m2=2.解不等式m－10，得m1.即125.0mmm或它们的公共解是m=2.答：当m=2时，（m－1）x2+2mx+3m－2是完全平方式.例3.已知：(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证：a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0.要使等式成立，必须且只需：000accbba解这个方程组，得a=b=c.例4.已知方程x2－5x+k=0有两个整数解，求k的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△=m2(m为整数)，即（－5）2－4k=m2(m为整数)，解得，k=4252m.∵k是非负整数，∴的倍数是42502522mm由25－m2≥0，得5m，即－5≤m≤5；由25－m2是4的倍数，得m=±1,±3,±5.以m的公共解±1,±3,±5，分别代入k=4252m.求得k=6,4,0.答：当k=6,4,0时，方程x2－5x+k=0有两个整数解例5.求证：当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根.证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k）2－16(k2+1)＝16（3k2－1）.设3k2－1＝m2(m是整数).由3k2－m2＝1，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k2＝m2＋1能否成立.当k为偶数，m为奇数时，左边k2是4的倍数，3k2也是4的倍数；右边m2除以4余1，m2＋1除以4余2.∴等式不能成立.；当k为奇数，m为偶数时，左边k2除以4余1，3k2除以4余3右边m2是4的倍数，m2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k,m取何整数，3k2＝m2＋1都不能成立.∴3k2－1不是整数的平方，16（3k2－1）也不是整数的平方.∴当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根三、练习1.如果m是整数，那么m2+1的个位数只能是＿＿＿＿.分析:m2的个位数是0,1,4,5,6,9m2+1的个位数是1,2,5,7,02.如果n是奇数，那么n2－1除以4余数是＿＿，n2+2除以8余数是＿＿＿，3n2除以4的余数是＿＿.分析：（1）n2－1=（n+1）(n-1)且n为奇数n+1与n-1同为偶数，故被4整除，n2－1除以4余数是0（2）设n=2k+1(k为正整数)，n2+2=（2k+1）2+2=4k(k+1)+3,而k(k+1)是偶数，4k(k+1)是8的倍数，n2+2除以8余数是3，（3）设n=2k+1(k为正整数)，3n2=3（2k+1）2=3[4k(k+1)+1]=12k(k+1)+3而k(k+1)是偶数，12k(k+1)是4的倍数，3n2除以4的余数是33.如果k不是3的倍数，那么k2－1除以3余数是＿＿＿＿＿.分析:k不是3的倍数,k被3除的余数是1或2，不妨设k=3m+1或k=3m+2，当k=3m+1时，k2－1=（k+1）(k-1)=3m(3m+2)是3的倍数，那么k2－1除以3余数是0；当k=3m+2时，k2－1=（k+1）(k-1)=(3m+3)(3m+1)是3的倍数，那么k2－1除以3余数也是0；综上所述，k2－1除以3余数是0。4.一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？分析：不是平方数，原因是能被3整除，却不能被9整除。5.一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.分析:因为平方数的个位数是（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1）即个位数为5×8＋56.m取什么值时，代数式x2－2m(x－4)－15是完全平方式？分析：7.m取什么正整数时，方程x2－7x+m=0的两个根都是整数？8.a,b,c满足什么条件时,代数式(c－b)x2+2(b－a)x+a－b是一个完全平方式？9.判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：①四个连续整数的积；②两个奇数的平方和.10.一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11.已知四位数aabb是平方数，试求a,b.12.已知：n是自然数且n1.求证：2n－1不是完全平方数.13.已知：整系数的多项式4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方数，求整数a和b的值.14.已知：a,b是自然数且互质，试求方程x2－abx+21(a+b)=0的自然数解.