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2016-2017学年广东省深圳中学高三（上）段测数学试卷（文科）（2）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．设，B={x|x＞a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a≤1D．a＜12．若（a﹣2i）i2013=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2+b2等于（）A．0B．2C．D．53．已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则|+|的值为（）A．B．C．5D．134．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2B．4C．6D．15．下列叙述正确的个数是（）①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；②若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0；③在△ABC中“∠A=60°”是“cosA=”的充要条件；④若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角．A．1B．2C．3D．46．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．187．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为（）A．B．C．D．8．若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤89．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=e|x|+x2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．B．C．（﹣，）D．11．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．12．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（）A．4πB．2πC．πD．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知数列{an}的前n项的和Sn满足log2（Sn+1）=n，则an=．14．若f（x）=ax3+4x+5的图象在（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为﹣．则a=．15．若x，y满足约束条件，则x2+y2的最小值为．16．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若区间（a，b）上f″（x）＞0．则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，己知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在（1，3）上为“凹函数”．则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点．（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．19．以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．（1）如果x=7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果x=9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．20．在平面直角坐标系中，已知圆C：x2+y2﹣4x﹣1=0与x轴正半轴的交点为D．（1）若直线m：ax﹣2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，求a的值；（2）过原点O的直线l与圆C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．21．已知函数f（x）=x2﹣2alnx，（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当方程f（x）=2ax有唯一解时，求a的取值范围．22．已知在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是θ=，且直线l与圆C交于A，B两点，试求弦AB的长．2016-2017学年广东省深圳中学高三（上）段测数学试卷（文科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．设，B={x|x＞a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a≤1D．a＜1【考点】集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意A集合中的元素是在区间（，5）内的整数，再利用A⊆B，求出a符合的条件即可．【解答】解：∵A={x|＜x＜5，x∈Z}，∴A={1，2，3，4}∵A⊆B，∴a≤1故选C2．若（a﹣2i）i2013=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2+b2等于（）A．0B．2C．D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由于i4=1，可得i2013=i，于是（a﹣2i）i2013=b﹣i，化为（a﹣2i）i=b﹣i，再利用复数的运算性质与复数相等即可得出．【解答】解：∵i4=1，∴i2013=（i4）503•i=i，∴（a﹣2i）i2013=b﹣i，化为（a﹣2i）i=b﹣i，∴2+ai=b﹣i，∴2=b，a=﹣1，∴a2+b2=5．故选：D．3．已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则|+|的值为（）A．B．C．5D．13【考点】平行向量与共线向量；向量的模；平面向量的坐标运算．【分析】根据两个向量平行的坐标表示求出x的值，然后运用向量的坐标加法运算求出两个和向量的坐标，最后利用求模公式求模．【解答】解：由向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则2×6﹣（﹣3）x=0，解得：x=﹣4．所以，则=（﹣2，3）．所以=．故选B．4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2B．4C．6D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD．AB=2，CD=4，AD=2，PA=2．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD．AB=2，CD=4，AD=2，PA=2．∴该几何体的体积V==4．故选：B．5．下列叙述正确的个数是（）①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；②若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0；③在△ABC中“∠A=60°”是“cosA=”的充要条件；④若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角．A．1B．2C．3D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用复苏苗头的真假判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；数量积的特殊情况判断④的正误．【解答】解：①不正确，因为若p∧q为假命题，则p、q至少有1个为假命题；②正确，因为特称命题的否定为全称命题；③正确，因为在△ABC中，0°＜A＜180°，所以cosA=只有一个解即：∠A=60；④不正确．当•＜0，时还可能与的夹角为π．综上可得正确的有2个，所以B正确．故选：B．6．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．18【考点】等差数列的前n项和．【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，Sn达到最大值400．故选：B．7．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从5只羊中选2只，共有C52种结果，满足条件的事件是喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中，共有C21C31种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从5只羊中选2只，共有C52=10种结果，满足条件的事件是喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中，共有C21C31=6种结果，∴喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率是故选C．8．若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤8【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，结合输出的S是126，即可得到退出循环的条件．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，由于S=2+22+…+26=126，故①中应填n≤6．故选：B．9．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据当a=0时，y=1，可判断图象哪个符合，当a≠0时，f（x）周期为，振幅a，分类讨论a＞1时，T＜2π；0＜a≤1，T≥2π利用所给图象判断即可得出正确答案．【解答】解：∵函数f（x）=1+asinax（1）当a=0时，y=1，函数图象为：C故C正确（2）当a≠0时，f（x）=1+asinax周期为T=，振幅为a若a＞1时，振幅为a＞1，T＜2π，当0＜a≤1，T≥2π．∵D选项的图象，振幅与周期的范围矛盾故D错误，故选：D10．已知函数f（x）=e|x|+x2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．B．C．（﹣，）D．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据f（x）解析式可以判断f（x）在[0，+∞）上为增函数，在R上为偶函数，从而由f（x）＞f（2x﹣1）便可得到|x|＞|2x﹣1|，两边平方即可解出该不等式，从而得出x的取值范围．【解答】解：x≥0时，f（x）=ex+x2，∴x增大时ex增大，x2增大，即f（x）增大；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=f（x）；∴f（x）为偶函数；∴由f（x）＞f（2x﹣1）得：f（|x|）＞f（|2x﹣1|）∴|x|＞|2x﹣1|；∴x2＞（2x﹣1）2；解得；∴x的取值范围为．故选：A．11．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．12．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长