第二十一届全国奥林匹克数学竞赛试题

第二十一屆全國奧林匹克數學競賽試題◎請將答案塗畫在電腦卡上，否則不予計分。一、計算能力：每題3分，共30分1.方程式2x－3＝x＋2與方程式x－a＝2－ax有相同的解，則a＝？(A)21(B)－32(C)－43(D)－542.x2－5x＋1再加上k可配成（x＋a）2，則下列何者正確？(A)k＝421，a＝25(B)k＝421，a＝－25(C)k＝421，a＝425(D)k＝－421，a＝4253.計算(1＋21)×(1＋31)×(1＋41)×…(1＋1001)＝？(A)101111(B)111101(C)2101(D)10124.計算100000000123×1810608.1，並以科學符號表示：(A)1.23×1020(B)2214×1021(C)2.214×1025(D)2.214×10265.設abc0，3ab＝4bc＝2ac，a＋b＋c＝72，(a＋2)：(b－1)：c＝？(A)4：2：3(B)6：1：3(C)3：2：4(D)34：15：246.某生解二元一次聯立方程式82212byxyax時，不知是看錯a，還是看錯b，結果得到不正確的答案x=9，y=3，但正確的答案是x=5，y=–3，試問究竟是a、b哪一個看錯了？(A)a(B)b(C)a與b(D)無法判斷7.設x2+px+q=（x–a）（x–b），若p＜0，q＞0，則下列何者正確？(A)a＞0，b＞0(B)a＞0，b＜0(C)a＜0，b＞0(D)a＜0，b＜08.設a、b、c皆是不為0的實數，在直角坐標平面上，直線ax＋by＋c＝0不通過第二象限，則點(ab，bc)在第幾象限？(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限9.若36的正質因數有a個，正因數有b個，則以a、b為兩根的一元二次方程式為下列何者？(A)x2＋6x＋18＝0(B)x2－6x＋18＝0(C)x2＋11x＋18＝0(D)x2－11x＋18＝0國中二年級第一節10.若2x3＋3x2－7x＋5＝(ax＋b)(x2＋x＋1)＋cx＋d，則a＋b＋c＋d＝？(A)3(B)－3(C)2(D)－2二、幾何圖形能力：每題3分，共30分11.如右圖，在梯形ABCD中，AB‖CD，AC與BD交於O，MN‖AB且MON交AD於M，交BC於N，則AB1＋CD1＝？(A)MN3(B)MN1(C)MN2(D)MN412.設三角形三邊長各為AB、BC、CA，且各邊上之高分別為CF、AD、BE，若AB：BC＝31：21，BC：CA＝31:41，求CF、AD、BE比為多少？(A)4：2：3(B)2：4：3(C)2：3：4(D)6：4：313.在坐標平面上有A(26x+40y，40x+50y)、B(－20x+5y+100，5x+4y+100)兩點，若將A點向左平移27單位，再向下平移16單位，可與B點重合。試問點P(x,y)的位置在哪一個象限內？(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限14.如圖，∠A＝90°，AB＝AC＝12。若PQ//BC，PR//AC，AP＜PR，且平ABOCDMNAECFBD行四邊形PRCQ的面積為35平方單位，則AP＝？(A)4(B)5(C)6(D)715.已知如圖中E、F、G、H分別為正方形ABCD四邊的中點，又AB＝a，則以a表示正方形PQRS的面積為：(A)2a2(B)3a2(C)4a2(D)5a216.如右圖，有一個直圓柱狀的透明玻璃杯，由內部測得其底面半徑為3公分，高為8公分，今有一12公分的吸管任意斜放於杯中，若不考慮吸管的粗細，則吸管露出杯口外的長度最少為多少公分？(A)1.5公分(B)2公分(C)2.5公分(D)3公分17.從直線上一點(2，－1)向右移動2個單位長，再向上移3個單位長後，又回到此直線上，則此直線方程式為何？(A)y＝23x＋4(B)y＝23x－4(C)y＝32x－4(D)y＝32x＋4018.已知ab0，則下列哪一個選項可能為方程式x+ay=b的圖形？(A)(B)(C)(D)19.坐標平面上三點A(5,0)、B(0,7)、C，且C點不屬於任何象限，若A、B、C三點所圍成的面積是A、B、原點所圍成面積的2倍，則C點共有幾個點？(A)2(B)3(C)4(D)無限多點20.將一邊長10㎝的正方形紙張，依下列方式對摺三次，如下圖所示，剪掉一部份，已知剩下圖形的面積為802cm，求圖中x＝？(A)3(B)25(C)2(D)23三、應用問題解題能力：每題4分，共40分※背面有題，請翻至背面做答83)2(823)1(132yxyx133282)1(328yy得：再代入yx8223)2(21yy得：再代入yx21.小明用身上所有錢的31買了2本價格相同的書，再用剩下錢數的21買了3枝筆，結果剩下200元，則小明所買的書每本多少錢？(A)50元(B)100元(C)150元(D)200元22.設A、B、C、D是數線上由左而右相異四點，它們的坐標依次為x、－3、y、5，如果AB比CD的2倍少1，AC比BD多2，則下列何者正確？(A)AB＝11(B)x＋y＝6(C)CD＝3(D)AC＝623.民國91年時，母女年齡之比為16：1，民國95年時，母女年齡之比為6：1，則民國99年時，母女的年齡之比可以用下列哪個選項來表示？(A)3：1(B)1：2(C)4：1(D)5：324.甲、乙、丙、丁四人同解聯立方程過程如下，請問四人中做對的是哪一個人？甲：(1)×2＋(2)×3得：13x=19乙：(1)×3－(2)×2得：－13y=－13丙：由(1)得：丁：由(2)得：(A)甲、乙(B)乙、丙(C)丙、丁(D)乙、丁25.有一個四位數最左端的數字是1，若將最左端的數字1移到最右端，則所得的新數會比原數的五倍少74，請問原數每位數字的總和是多少？(A)20(B)21(C)22(D)2326.一個三角形的三邊長為30、70及80單位，邊長80的高將此邊分成二段，則較長的線段長是多少？(A)62(B)63(C)64(D)6527.某次數學測驗共有35小題，其中甲部分有10小題，每小題2分；乙部分有20小題，每小題3分；丙部分有5小題，每小題4分；已知小康得80703080分，且甲部分全對，丙部分也有得分，那麼小康答對乙部分的題數可能為下列何者？(A)20(B)16(C)12(D)828.甲鎮位於（3x＋5，y＋1），乙鎮位於(y＋2，x＋3)，若小明由甲鎮向西走了5個單位，再向北走7個單位，小華由乙鎮向北走1個單位，再向東走4個單位，皆可到達丙鎮，則丙鎮的坐標為何？(A)（3，5）(B)（5，3）(C)（3，2）(D)（5，4）29.某唱片公司預定於九月中旬幫歌手發行一張CD，且知CD分為平裝版和精裝版兩種。今唱片公司給予歌手30萬元的酬勞，若首批出貨10萬張售完，則從第100001張開始，每賣出一張就給予其價格的3%當作獎金，今知平裝版的價格為260元，精裝版的為310元，若這次活動中歌手總共獲得69萬9仟元的酬勞，且知這次CD的販賣總數為精裝版追加數量的4倍又多1萬7仟張，請問這次CD總共賣出幾張？(A)155000(B)135000(C)150000(D)145000(張)30.某國中實施鋁製品資源回收。去年11月份二、三年級共回收38公斤，12月份三年級比二年級多回收6公斤。只知12月與11月比較，二年級增加50％，三年級減少25％，請問下列何者正確？(A)11月份三年級比二年級多回收6公斤(B)12月份三年級回收28公斤(C)12月份二年級回收18公斤(D)11月份二年級回收10公斤