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2016-2017学年河北省保定市高三（上）11月摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．=（）A．﹣iB．iC．1D．2﹣i2．已知函数f（x）=2x的值域为A，g（x）=lnx的定义域为B，则（）A．A∩B=（0，1）B．A∪B=RC．B⊊AD．A=B3．若函数f（x）=（a﹣1）x3+ax2为奇函数，则f（1）=（）A．1B．﹣1C．﹣2D．04．设向量，，若与垂直，则m的值为（）A．B．C．D．5．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为增函数的是（）A．y=sin2xB．y=|cosx|C．y=﹣tanxD．6．下列命题中：①若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q“为真命题；②“”是“”的必要不充分条件；③命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，”正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．37．设数列{an}是公比为q（|q|＞1）的等比数列，令bn=an+1（n∈N*），若数列{bn}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则q=（）A．B．C．D．8．设α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．9．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10．等比数列{an}中，若a4a5=1，a8a9=16，则公比q等于（）A．B．2C．﹣2D．11．.已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是（）A．B．1C．D．12．已知O为正△ABC内的一点，且满足，若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为（）A．B．C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数f（x）=，则f[f（0）]=．14．若平面向量与方向相反，且，则的坐标为．15．设数列{an}中，a1=3，（n∈N*，n≥2），则an=．16．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2时，f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣a|x|（a≠0），在区间[﹣3，3]上至多有9个零点，则a=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设Sn为数列{an}的前n项和，且S3=7，a1+3，a3+4的等差中项为3a2．（1）求a2；（2）若{an}是等比数列，求an．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，（1）求函数f（x）的解析式；（2）如何由函数y=sinx的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f（x）的图象，写出变换过程．19．等差数列{an}中，其前n项和为Sn，且，等比数列{bn}中，其前n项和为Tn，且，（n∈N*）（1）求an，bn；（2）求{anbn}的前n项和Mn．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．21．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，C=2A．（1）求cosA；（2）若a=2，求△ABC的面积．22．已知函数f（x）=（a﹣bx3）ex﹣，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2．2016-2017学年河北省保定市高三（上）11月摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．=（）A．﹣iB．iC．1D．2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故选：A．2．已知函数f（x）=2x的值域为A，g（x）=lnx的定义域为B，则（）A．A∩B=（0，1）B．A∪B=RC．B⊊AD．A=B【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】求出f（x）的定义域，g（x）的值域，确定出A=B，【解答】解：函数f（x）=2x的值域为A=（0，+∞），g（x）=lnx的定义域为B=（0，+∞），∴A=B，故选：D3．若函数f（x）=（a﹣1）x3+ax2为奇函数，则f（1）=（）A．1B．﹣1C．﹣2D．0【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数的定义，求出a，再计算f（1）即可．【解答】解：∵f（x）=（a﹣1）x3+ax2为奇函数，∴﹣（a﹣1）x3+ax2=﹣（a﹣1）x3﹣ax2，∴a=0，∴f（x）=﹣x3，∴f（1）=﹣1，故选B．4．设向量，，若与垂直，则m的值为（）A．B．C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量垂直的条件，能求出m的值．【解答】解：∵向量，，∴=（﹣1，3+m），∵与垂直，∴•（）=﹣1+3（3+m）=0，解得m=﹣．故选：B．5．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为增函数的是（）A．y=sin2xB．y=|cosx|C．y=﹣tanxD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：根据函数以π为最小正周期，y=cos的周期为=4π，可排除D．在区间上，2x∈（π，2π），y=sin2x没有单调性，故排除A．在区间上，y=﹣tanx单调递减，故排除C，故只有y=|cosx|满足以π为最小正周期，且在区间上为增函数，故选：B．6．下列命题中：①若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q“为真命题；②“”是“”的必要不充分条件；③命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，”正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用复合命题的真假判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；利用命题的否定判断③的正误；【解答】解：①若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q“为真命题是不正确的；②“”则“”，但是“”不一定“”，所以“”是“”的必要不充分条件；正确．③命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，”，满足命题的否定，是正确．故选：C．7．设数列{an}是公比为q（|q|＞1）的等比数列，令bn=an+1（n∈N*），若数列{bn}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则q=（）A．B．C．D．【考点】数列递推式．【分析】推导出{an}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，从而q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值，由此能示出结果．【解答】解：数列{bn}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，且bn=an+1（n∈N*），∴an=bn﹣1，则{an}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，∵数列{an}是公比为q（|q|＞1）的等比数列，等比数列中有负数项，则q＜0，且负数项为相隔两项∵|q|＞1，∴等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81，相邻两项相除=﹣，=﹣，=﹣，=﹣，∵|q|＞1，∴﹣24，36，﹣54，81是{an}中连续的四项，此时q=﹣．故选：C．8．设α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：∵α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α====，故选：A．9．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】导数的运算；函数的图象．【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：由f′（x）图象可知，函数f（x）先减，再增，再减，故选：D．10．等比数列{an}中，若a4a5=1，a8a9=16，则公比q等于（）A．B．2C．﹣2D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的性质得=．a4a5==1＞0，由此能求出公比q的值．【解答】解：∵等比数列{an}中，a4a5=1，a8a9=16，∴=．又a4a5==1＞0，∴q＞0，解得公比q=．故选：A．11．.已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是（）A．B．1C．D．【考点】简单线性规划．【分析】由已知点的坐标求得目标函数，由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）的距离求解．【解答】解：∵A（1，0），M（x，y），∴，则z==．由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）的距离．由图可知，．故选：C．12．已知O为正△ABC内的一点，且满足，若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为（）A．B．C．2D．3【考点】向量在几何中的应用．【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到=﹣λ，由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到S△COB=S△ABC，S△COA=S△ABC，由面积之比，O分DE所成的比，从而得出λ的值．【解答】解：由于，变为++λ（+）=0．如图，D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知+=2，λ（+）=2λ，故=﹣λ，在正三角形ABC中，∵S△COB=S△AOB=×S△ABC=S△ABC，S△COA=S△ACB﹣S△ABC﹣S△ABC=S△ABC，且三角形AOC与三角形COB的底边相等，面积之比为2得λ=2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数f（x）=，则f[f（0）]=0．【考点】对数的运算性质．【分析】由函数的解析式求得f（0）的值，进而求得f[f（0）]的值．【解答】解：∵函数，则f（0）=30=1，∴f[f（0）]=f（1）=log21=0，故答案为0．14．若平面向量与方向相反，且，则的坐标为（1，﹣2）．【考点】向量的模．【分析】平面向量与方向相反，设=k（﹣1，2），（k＜0），根据，解得k．【解答】解：平面向量与方向相反，设=k（﹣1，2），（k＜0），∵，∴=，解得k=﹣1．则=（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．15．设数列{an}中，a1=3，（n∈N*，n≥2），则an=．【考点】数列递推式．【分析】利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1=3，（n∈N*，n≥2），则an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=3n+3n﹣1+…+32+3==．故答案为：．16．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2时，f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣a|x|（a≠0），在区间[﹣3，3]上至多有9个零点，则a=20﹣8．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用f（x）的周期与对称性得出f（x）在（2，3）上的解析式，由g（x）的零点个数可得y=ax与f（x）在（2，3）上的图象相切，根据斜率的几何意义列方程组解出a．【解答】解：f（2）=﹣4×22+12×2﹣8=0，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）的周期为4．作出f（x）在[﹣3，3]上的函数图象，如图所示：令g（x）=0得f（x）=a|x|，∴当x＞0时，y=ax与y=f（x）在（2，3）上的函数图象相切，∵1＜x＜2时，f（x）=﹣4x2+12x﹣8，且f（x）是偶函数，∴当﹣2＜x＜﹣1时，f（x）=﹣4x2﹣12x﹣8，又f（x）周期为4，则当2＜x＜3时，f（x）=﹣4（x﹣4）2﹣12（x﹣4）﹣